Encuentre el valor de$[\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{ \sqrt 3}+......+\frac{1}{\sqrt {1000}}]$

Question

Encontrar el valor de %#% $#%. Donde [•] denotan la función entero mayor.

Estoy muy confundido acerca de este problema. He intentado encontrar el límite superior e inferior de la función. Pero no puedo encontrar ninguna fórmulas para encontrar los límites. Alguien por favor me ayude.

Answer 1

Esto es todo acerca de proveer una aproximación exacta de los involucrados generalizada armónica de la suma. Voy a utilizar una técnica (creative telescópica) claramente expuestas en el primer capítulo de estas notas del curso.
Podemos observar que la $$ \sqrt{n+\frac{1}{2}}-\sqrt{n-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{2}}+\sqrt{n-\frac{1}{2}}} $$ es un telescópica plazo y es, además, muy cerca de la $\frac{1}{2\sqrt{n}}$. En particular $$ \frac{1}{\sqrt{n}}-2\left(\sqrt{n+\frac{1}{2}}-\sqrt{n-\frac{1}{2}}\right)= d_n\\=-\frac{1}{2\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1/2}+\sqrt{n-1/2}\right)^2\left(\sqrt{n+1/2}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n-1/2}+\sqrt{n}\right)}$$ es un término negativo que se comporta como $-\frac{1}{32 n^{5/2}}$ grandes $n$s. De ello se sigue que $$ \sum_{k=2}^{1000}\frac{1}{\sqrt{k}} = 2\sum_{k=2}^{1000}\left(\sqrt{k+\frac{1}{2}}-\sqrt{k-\frac{1}{2}}\right)+\sum_{k=2}^{1000}d_k $$ tiene una distancia de $$ 2\sum_{k=2}^{1000}\left(\sqrt{k+\frac{1}{2}}-\sqrt{k-\frac{1}{2}}\right) = 2\left(\sqrt{1000+\frac{1}{2}}-\sqrt{2-\frac{1}{2}}\right) $$ que es menos$^{(*)}$$\frac{8}{1000}$. Mediante el cálculo de la última cantidad se deduce que la respuesta es $\color{red}{60}$.

$(*)$ Prueba: hemos $$ |d_k|\leq \frac{1}{48 k^{3/2}}-\frac{1}{48(k+1)^{3/2}} $$ por lo tanto $$ \sum_{k=2}^{1000}|d_k|\leq \sum_{k\geq 2}|d_k|\leq \frac{1}{48\cdot 2^{3/2}}<\frac{8}{1000}.$$

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Con la identidad $\ds{\sum_{k = 1}^{N}{1 \over n^{s}} = {N^{1 - s} \over s} + \zeta\pars{s} + s\int_{N}^{\infty}{\llaves{x} \over x^{s + 1}}\,\dd x}$:

\begin{align} \left\lfloor\sum_{n = 2}^{1000}{1 \over \root{n}}\right\rfloor & = \left\lfloor-1 + \sum_{n = 1}^{1000}{1 \over \root{n}}\right\rfloor = \left\lfloor-1 + \pars{2\root{1000} + \zeta\pars{1 \over 2} + {1 \over 2}\int_{1000}^{\infty}{\braces{x} \over x^{3/2}}\,\dd x}\right\rfloor \\[5mm] & = \left\lfloor\underbrace{20\root{10} + \zeta\pars{1 \over 2} - 1} _{\ds{\approx\ \color{#f00}{60.7852}}}\ +\ \underbrace{{1 \over 2}\int_{1000}^{\infty}{\braces{x} \over x^{3/2}}\,\dd x} _{\ds{\left\vert\begin{array}{l}\ds{> 0} \\ \mbox{and}\ <\ {\root{10} \over 100}\ \approx\ \color{#f00}{0.0316} \end{array}\right.}}\a la derecha\rfloor = \bbx{\ds{\large\color{#f00}{60}}} \end{align}