La serie de Taylor como operador lineal $T:C^{k} (\mathbb{R} , \mathbb{R}) \to C^{\infty} (\mathbb{R} , \mathbb{R})$ ?

Question

¿Puede considerarse la serie de Taylor como un operador lineal $T: C^{k} (\mathbb{R} , \mathbb{R}) \to C^{\infty} (\mathbb{R} , \mathbb{R})$ dado por $$ Tf=\sum^{k}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$ para $f \in C^{k} (\mathbb{R} , \mathbb{R})$ con el caso especial $T:C^{\infty} (\mathbb{R} , \mathbb{R}) \to C^{\infty} (\mathbb{R} , \mathbb{R})$ dado por $$ Tf =\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$ para una función $f \in C^{\infty}(\mathbb{R} , \mathbb{R})$ ? La idea me vino a la cabeza y quise asegurarme de que no me estaba metiendo en la madriguera del conejo.

Answer 1

Esto funciona para un número finito de $k$ (y un punto fijo $a$ ). Pero para $k=\infty$ no funciona porque la suma $\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ puede no converger. Por ejemplo, si $(c_n)$ es cualquier secuencia de números reales, entonces existe un $C^\infty$ función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f^{(n)}(0)=c_n$ para cada $n$ . Si elige el $c_n$ para crecer lo suficientemente rápido (por ejemplo, $c_n=(n!)^2$ ), entonces $\sum^{\infty}_{n=0} \frac{c_n}{n!}x^{n}$ no convergerá para cualquier $x\neq0$ .

Answer 2

Voy a utilizar esta respuesta para abordar la preocupación que AnalysisStudent expresó sobre "bajar a la madriguera del conejo", posiblemente precisada por Roland en los comentarios:

¿Es un operador interesante?

Sin profundizar demasiado en lo que significa ser un operador interesante, sólo diré que creo que la respuesta es "sí". Para motivar esto, voy a describir una situación en la que operadores similares a este son interesantes.

En la aproximación numérica de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, se desea obtener métodos para producir soluciones aproximadas de las ecuaciones diferenciales. Dicho método suele implicar parámetros, como las aproximaciones geométricas, así como límites computacionales como la aproximación de números reales por flotantes.

Con este método, uno se preocupa por las cuestiones fundamentales: A medida que varío los parámetros del método (por ejemplo, hacer una malla de aproximación cada vez mejor), ¿converge el método a una solución real? Y, si tengo una solución concreta a la que he llegado con parámetros fijos, ¿cuánto se acerca a la solución real? Estas preguntas se responden con pruebas, y sustentan la confianza en las soluciones numéricas a las que llegamos.

Al observar estas pruebas, me ha parecido útil separar conceptualmente dos tipos de aproximaciones. La primera es la aproximación de números reales por números de punto flotante. La segunda es la aproximación de números suaves ( $C^\infty$ ) por funciones "fácilmente computables". Me refiero a funciones que traducen un problema de dimensión infinita, como encontrar los valores propios de un operador diferencial, a un problema de dimensión finita, como encontrar los valores propios de una matriz grande.

El proceso es así: $$ \mbox{equation in $ C^ \infty$} \xrightarrow{2^{nd} approx.} \mbox{equation in $\Bbb {R}^n $} \xrightarrow{1^{st} approx.} \mbox{numerical solution} $$ es decir $$ \mbox{functional equation} \to \mbox{matrix equation} \to \mbox{numerical analysis} $$

Consideraciones como los errores de punto flotante, la estabilidad numérica y bien y mal acondicionados ir con el primer tipo de aproximación. Consideraciones como el operador de la pregunta original van con el segundo. Centrémonos en ellas.

Al reducir una ecuación diferencial a un problema de álgebra lineal, podemos querer sustituir un espacio de funciones de dimensión infinita por un subespacio de dimensión finita . El objetivo es elegir un subespacio de dimensión finita en el que el problema sea manejable con una potencia de cálculo finita, y luego resolverlo numéricamente.

Si tenemos un espacio de funciones $\mathcal{V}$ y un subespacio de dimensión finita $V\subset\mathcal{V}$ que creemos que es adecuado para estudiar y aproximar el problema, entonces el siguiente paso es preguntarse cómo trasladamos las funciones de $\mathcal{V}$ a $\mathcal{V}$ . La respuesta es: mediante un operador como $T$ de la pregunta original. Una vez que tenemos este operador, queremos estudiar todo tipo de cosas sobre él --- cómo distorsiona las distancias (es decir, lo bueno que es en la aproximación), qué tipo de funciones están en su núcleo o cerca de su núcleo, qué tipo de funciones son mal aproximadas, cómo interactúa con el problema que queremos resolver, etc.

Para concretar, digamos que tenemos una malla triangular en un dominio poligonal euclidiano y queremos estudiar la eficacia de la interpolación polinómica a trozos en la malla para aproximar funciones suaves en el dominio. Para ello, estudiamos triángulo por triángulo y examinamos lo bien que funciona la interpolación polinómica a trozos en un solo triángulo para las funciones suaves. (Una respuesta viene dada por el Lema de Bramble-Hilbert ; otras respuestas en diferentes normas se dan estudiando el operador resto, $R = T-I$ en la notación de la pregunta). Una vez que se conoce esto, el error puede sumarse sobre los triángulos para producir estimaciones que se abren paso en las estimaciones de error sobre varias aproximaciones de las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales lineales en el dominio.

Estoy siendo muy vago, pero espero que esto proporcione algún contexto y alguna justificación de por qué preguntas como ésta son interesantes para algunas personas.

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Por otra parte, la filosofía " elige un buen espacio "también es cierto en el estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Aquí es donde espacios como el $L^p$ los espacios de Sobolev $W^{k,p}$ y $H^k$ El $BMO$ La gente encontró en ellos contextos útiles para estudiar varios tipos de ecuaciones funcionales, identificar soluciones y estudiar las propiedades de las soluciones.