Partícula del punto móvil en una colina semicircular sin fricción

Question

Considere la posibilidad de un punto de partícula que se mueve sin fricción en un cerro semicircular (curva). La partícula de la energía cinética inicial es igual a la energía potencial en la parte superior de la colina, yo.e tiene la energía necesaria para subir a la colina.

Va a llegar a la cima de la colina en el infinito o finito de tiempo?

En mi prueba de que necesita un tiempo infinito y esto es muy poco intuitivo, porque, a pesar de que la partícula tiene la energía necesaria para subir a la colina, se necesita un tiempo infinito. También si invertimos el tiempo, cuando la partícula está en equilibrio sobre la parte superior de la colina, nunca se irá abajo, por lo tanto este proceso es el tiempo irreversible.

Answer 1

EDIT: OK, me malinterprete, ANKU la pregunta y tenía una forma de tazón en la mente, mientras que él tenía una levantada de tazón en la mente. Esto cambia la ecuación de la energía para

$$ mgR = \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + m g R (\sin \theta) \; .$$

Puedo medir el ángulo desde la horizontal aquí. Después de la manipulación similar de la siguiente, tengo

$$ T = \sqrt{\frac{R}{2g}} \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin\theta}}$$

que es de hecho un divergentes integral. Sin embargo, esto no significa que el movimiento es irreversible. El reverso de movimiento se inicia desde la parte superior de la colina, pero en la parte superior de la colina es un punto de equilibrio, aunque con una inestable, lo que implica que se necesita una cantidad infinita de tiempo para rodar colina abajo.

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De conservación de la energía, usted puede escribir la siguiente fórmula:

$$ mgR = \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + m g R (1-\cos \theta) \; .$$

El lado izquierdo representa la energía potencial en la parte superior de su semi-circular de la colina, al lado derecho de la energía total en cualquier punto de la trayectoria. (Ángulo medido desde la vertical.)

Reorganización, se puede escribir como este

$$ \frac{2 g \cos \theta}{R} = \dot{\theta}^2$$

o después de algún trabajo adicional y intergrating

$$ T = \sqrt{\frac{R}{2g}} \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta}}$$

Una comprobación rápida con wolframalpha da un número finito para el derecho integral. Por lo tanto, el tiempo que toma para que la pelota ruede para arriba la colina es finito.

Answer 2

Pregunta interesante: El tiempo que se tarda en llegar a la cima es naturaly infinito. Tiene sentido, ya que la partícula llega al resto, debería ir más lento y más lento a medida que se obtenga más cerca de la parte superior. La parte principal de la hora en que la partícula se necesita para llegar a la cima es gastado en la última parte de su trayectory. El proceso ya es tiempo de reversivle; el punto es que los dos exmples de mencionar que no se corresponden con el mismo proceso. En el primero, el de la partícula nunca llega a la parte superior. Que me sugieren para resolver el problema en el caso de que la partícula tiene initialy un poco más de energía que el potencial en la parte superior, decir MgR+epsilon; luego tomar el límite de epsilon a cero. Probablemente pueda aclarar los aspectos del problema. Espero haber sido de ayuda.

Answer 3

La respuesta correcta es que el tiempo necesario para llegar a la cima de la colina es infinito y finito. Que uno sólo depende de la forma de la colina dentro de algún pequeño barrio de la parte superior, - según la cual la energía potencial (es decir, la forma de la colina en este barrio) puede ser expresado como: $$U(x)=(\text{total energy of the system}) - mgf(x)$$

donde $f(x) \approx x^a$ para un pequeño barrio de la parte superior de la colina.

Se tarda un tiempo infinito si $a\leq1$ o $a\geq2$

y se necesita tiempo finito si $1 < a < 2$

usted puede acceder a esta a través de un simple contras.de energía con la mecánica newtoniana. empezar con $E=\frac{m\left(\frac{\rm dx}{\rm dt}\right)^2}{2}+U(x)$ resolver para dt y jugar con el integrando para llegar a las restricciones de un.