Derivado de la covariante

Question

En mi libro el autor hace la observación: Si $X,Y$ son suaves campos vectoriales, y $\nabla$ es una conexión, a continuación, $\nabla_X Y(p)$ depende del Valor de $X(p)$ y el valor de $Y$ a lo largo de una curva, la recta tangente a $X(p)$.

Cuando llegué a la derecha, luego podemos considerar que una curva de $c:I\rightarrow M$$c(0)=p$$c'(0)=X_p$.

Me preguntaba, ¿por qué esto es cierto. Cuando considero que una de coordenadas de la representación en torno al punto p, es decir,$X=\sum x^i\cdot \partial_i$$Y=\sum y^i \cdot \partial_i$, entonces se puede calcular que el $\nabla_X Y(p)$ depende de:

$x^i(p)$, $y^i(p)$ y $X_p(y^i)$.

De nuevo, esto es sólo dependiendo $X_p$ y los valores de $y^i=Y(x^i)$ en un arbitrario pequeño barrio de $p$. Pero no puedo ver ninguna curva ...

Espero que usted me puede ayudar!

Saludos

Answer 1

Escribir en coordenadas $X = X^i \partial_i$ y $Y = Y^i \partial_i$ (utilizando el Convenio de sumación de Einstein).

Entonces $\nabla_X Y = X(Y^k)\partial_k + Y^j X^i \Gamma_{ij}^k \partial_k$.

La única parte de esta expresión que depende de los valores de $Y$ que en cualquier punto fijo $p$ que usted está viendo son lo derivados direccionales $X(Y^k)$. Como siempre para los derivados direccionales de funciones, éstos sólo depende de los valores de la función a lo largo de la tangente de la curva a $X$.

Answer 2

Tienes razón, que derivado de la covariante es el derivado generalmente a lo largo de las coordenadas con términos de corrección que dicen cómo cambian las coordenadas.

El % de derivada covariante $\nabla$es una manera de especificar un derivado a lo largo de los vectores tangentes de un colector.

Answer 3

Sigue como la conexión es $C^\infty$ lineal en que ranura de la parte inferior, por lo que puede el factor hacia fuera de los términos de $x^i(p)$ de la conexión, y luego evaluar y en el punto $p$. Entonces sigue bastante simplemente.