Yo estaba de brazos cruzados pensando que por qué uno podría esperar ingenuamente discretos en el espectro de valores propios de un operador lineal $L$ cuando soñaba hasta el siguiente argumento (que espero que no es nuevo en su lugar - referencias?). Puede ser de manera rigurosa, con cualquier necesarias restricciones agregadas, o al menos ofrecer unos auténticos informal insight? (O no me acaba de meterse algo?)
Supongamos $L$ es lineal, auto-adjunto del operador que actúa sobre (suficientemente) continuamente diferenciable funciones de $\phi:[0,1]\to\mathbb{R}$ con condiciones de contorno de la $\phi(0)=\phi(1)=0$. Un eigenfunction $\phi_\lambda(x)$ es un no-cero de la función tal que
$$\left[L \phi_\lambda\right](x) = \lambda \phi_\lambda(x)$$
Esperamos que tales funciones se producen sólo para 'discretos' $\lambda$, en particular, no para un intervalo de $(a,b)$ de los autovalores. Aclaración: estoy pensando en $L$ 'nice' integral/diferencial operador en mi cabeza. Lo que me interesa es lo que más restricciones son necesarias para hacer que el espectro de simple.
He aquí una razón para sospechar que este es el caso: supongamos $\phi\equiv \phi(x;\lambda)$ es un (suficientemente) continuamente diferenciable función de $[0,1]\times(a,b)\to\mathbb{R}$ tal que $L \phi = \lambda\phi$. Supongamos, además, que $L,\phi$ es lo suficientemente bien que se comportó $L (\partial_\lambda \phi) \equiv \partial_\lambda(L\phi)$. Tenga en cuenta que esperamos $\partial_\lambda \phi|_{x=0,1}=0$ ya que todos los $\phi$ obedecen a las condiciones de contorno, por lo $L$ debe ser uno mismo-adjoint en esta función.
Luego, con un simple $L^2$ producto interior $\left<\cdot,\cdot\right>$ decir,
$$\boxed{\lambda \left<\phi,\partial_\lambda \phi\right> = \left<L\phi,\partial_\lambda \phi\right> = \left<\phi,L\partial_\lambda \phi\right> = \left<\phi,\partial_\lambda L\phi\right> = \left<\phi,\partial_\lambda (\lambda\phi)\right> = \left<\phi,\phi\right> + \lambda \left<\phi,\partial_\lambda \phi\right>}$$
y por lo tanto $$\left<\phi,\phi\right> = 0$$
Por lo tanto no es continuamente diferenciable de la familia de soluciones que varían el autovalor lo largo de un intervalo.
Ejemplo Por el contrario, si dejamos nuestras condiciones de contorno, y trabajó en el totalmente infinito de dominio $x\in(-\infty,\infty)$ el operador $Lf=f''(x)$ adquiere todos los autovalores en el buen familias $\cos kx,\exp kx$. Pero para s intervalos finitos con homogéneo BCs, sólo obtenemos por ejemplo, $0,\pi,2\pi,\ldots$
Interesantes pensamientos son bienvenidos! No he pensado en esto en gran detalle, así que puede ser que esto solo lleva a una norma espectral de la teoría de la argumentación cuando uno trata de hacer es riguroso, pero soy curioso en cuanto a si tiene una interpretación interesante, y si usted piensa que sería una buena informal justificación para enseñar a alguien lo primero que viene a Sturm-Liouville teoría.
Principalmente, estoy interesada en saber si esto puede ser ajustado a una prueba sin perder todos los simples de espíritu de la caja ecuación anterior.
