Para un Seifert matriz $V$ de un nudo $K$, el Alexander módulo de presentación de la matriz de $V-tV^T$. El determinante de esta matriz es el polinomio de Alexander, que es el orden de la Alexander módulo. En particular, el Alexander módulo es un módulo de torsión, y tiene una vinculación, que se llama la Blanchfield de emparejamiento. La S-clase de equivalencia de la Seifert matriz es un invariante del nudo, y caracteriza de forma exclusiva la Blanchfield de emparejamiento. Hay un bijective correspondencia entre S-clases de equivalencia de Seifert matrices y Blanchfield emparejamientos.
Trotter se dieron ejemplos de nudos con el mismo polinomio de Alexander, pero no S-equivalente Seifert matrices. Mi pregunta es, ¿qué información adicional que se necesita para reconstruir la Blanchfield de emparejamiento (Seifert matriz de hasta S-equivalencia) del polinomio de Alexander.
Respuestas
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El Blanchfield emparejamiento tiene muchas formulaciones, me gusta pensar que es como un sesquilinear forma:
$$ A \otimes A \to \Lambda / \mathbb Z[t^\pm] $$
donde $A$ es el Alexander módulo de e $\Lambda$ es el campo de fracciones de $\mathbb Z[t^\pm]$. Esta vinculación ha de ser una dualidad isomorfismo, es decir: el adjunto
$$ \overline{A} \to Hom_{\mathbb Z[t^\pm]} (A, \Lambda/\mathbb Z[t^\pm]) $$
es un isomorfismo de $\mathbb Z[t^\pm]$-módulos. $\overline{A}$ $A$ pero teniendo en cuenta la acción opuesta a la de $\mathbb Z[t^\pm]$ (sustituye $t \longmapsto t^{-1}$ antes de la multiplicación por un polinomio)
El Blanchfield de emparejamiento puede ser cualquier cosa de esa forma. Así que tome el Alexander módulo, y la sopa con un isomorfismo entre el $\overline{A}$ y su `Ext dual" $Hom_{\mathbb Z[t^\pm]} (A, \Lambda/\mathbb Z[t^\pm]) $. Que es la información adicional en la S-clase de equivalencia.
edit: el emparejamiento tiene una buena interpretación geométrica. $A$ $H_1(\tilde C)$ donde $\tilde C \to C$ es el universal abelian portada de el nudo del complemento. Desde $A$ $\mathbb Z[t^\pm]$- torsión, dados cualesquiera $[x] \in A$ deje $p$ ser tal que $px = \partial X$. Luego de definir el emparejamiento $\langle x, y\rangle = (\sum_i (X \cap t^{i}y)t^i)/p$ $X$ $y$ son transversales a los representantes cuando se proyecta a $C$ (de alguna manera que eso tiene sentido). Aquí $\cap$ es el estándar algebraicas intersección número de transversales cadenas.
