¿Primera variación de una acción?

Question

Estoy trabajando en un problema y debo calcular la primera variación de una acción. Deje $\Omega$ es una 2-forma en un semi-Riemann colector $M$ $f$ es una función suave y $\Gamma$ es una 1-forma en $M$. He obtenido la siguiente igualdad \begin{equation} \int_M (\langle\Gamma-\Omega(\nabla h,.),\delta\rangle+f(x)h )dV_g=0 \end{equation} para todos los $h\in C^\infty (M)$ y todos los 1 formulario a -$\delta$$M$. Esta igualdad no puede ser más sencillo. $\nabla h$ es el gradiente de $h$.

¿Qué puedo deducir frome esta igualdad?

Es cierto que $\Omega$ $f$ $\Gamma$ debe ser idéntica a cero?

Answer 1

Primero elige $h=0$ y consigue $\int \langle \Gamma, \delta \rangle = 0$ todos los $\delta$, lo $\Gamma = 0$ por un estándar lema.

Ahora integrar por partes y se obtiene

$$\int h\left(f - \nabla^i(\Omega_{ij} \delta^j) \right) dV= 0$$

para todos los $h,\delta$, lo $f = \nabla^i (\Omega_{ij}\delta^j)$ todos los $\delta$.

Si $\Omega$ no es cero, entonces se puede elegir un campo de vectores $v$ tal que $\theta = \Omega(v,\cdot)$ es un no-cero uno-forma. A continuación, la elección de $\delta = \phi v$ tenemos

$$ f = \theta_i \nabla^i \phi + \phi \nabla^i \theta_i $$

para cada función suave $\phi$. La elección de un punto de $p$ donde $\theta(p) \ne 0$ y una función de $\phi$$\phi(p) = 0$$d \phi(p) = C \theta(p)$, obtenemos $f(p) = C^2 |\theta(p)|^2$ para todos los reales constantes $C$, lo $\theta(p) = 0$, una contradicción. Por lo $\Omega$ es cero y por lo tanto $f$ debe ser cero.