¿Se puede calcular la siguiente integral?

Question

¿Se puede calcular la siguiente integral?

Answer 1

Sugerencia: considere $$A_n=\int_{1/(n+1)}^{1/n}\{1/x\}^{4}dx$$ . Esto se puede calcular. ¿La serie $\sum_{i=1}^\infty A_i$ ¿converge?

Answer 2

Con algunas transformaciones preliminares (en el archivo adjunto) la integral se reduce a la integral de una función poligama que es conocida (dejo que WolframAlpha haga la parte conocida del trabajo).

Answer 3

Primero, demostremos que converge:

$$\int_0^1\bigg\{\frac1x\bigg\}^4dx=\int_1^\infty\frac{\{t\}^4}{t^2}dt\color{red}<\int_1^\infty\frac{1^4}{t^2}dt=\bigg[-\frac1t\bigg]_1^\infty=1,\qquad\text{since }0\le\{t\}<1.$$

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$$\int_0^1\bigg\{\frac1x\bigg\}^4dx=\int_1^\infty\frac{\{t\}^4}{t^2}dt=\sum_1^\infty\int_k^{k+1}\frac{(t-k)^4}{t^2}dt=\sum_1^\infty\int_0^1\frac{u^4}{(u+k)^2}du=$$

$$=\sum_1^\infty\bigg(\frac43-2k+4k^2-\frac1{k+1}+4k^3\ln\frac k{k+1}\bigg)=\ldots<1$$