Las fibras de un morfismo finito de variedades afines son todos finitas

Question

Estoy tratando de encontrar la prueba de :

Las fibras de un número finito de morfismos $\phi: X \rightarrow Y$ ($X,Y$ afín) son todos finitos.

Aquí, una de morfismos se llama finita si $K[X]$ es integral sobre la imagen de $K[Y]$ bajo la comorphism $\phi^*$$\phi$.

Si puedo suponer que esto morfismos a ser dominante de variedades irreducibles, entonces para cualquier subconjunto cerrado $V \subseteq Y$, la dimensión de la $\phi^{-1}(V)$ es nada menos que la dimensión de $V$. ¿Tengo que demostrar en este caso que, por cualquier cerrado irreducible subconjunto $V$$Y$, la imagen inversa en $X$ tiene la misma dimensión con $V$? ¿Cómo puedo utilizar el hecho de $K[x]/\phi^*K[Y]$ integral?

Muchas gracias.

Answer 1

Usted está preguntando por qué un número finito de morfismos es cuasi-finito. En la conmutativa-álgebra del lenguaje : Para un álgebra $A$, de un número finito de $A$-álgebra $B$, y un primer ideal $p$$A$, hay un número finito de primer ideales $q$ $B$ tal que $A\cap q = p$.

Como Zhen Lin dijo, esta es una propiedad local. De hecho, es $S$ es un subconjunto multiplicativo de un álgebra $A$, y si $B$ es de un número finito de álgebra$A$, $S^{-1} B$ es finito $S^{-1} A$. Más encima, si $S\cap p = \varnothing$, entonces el primer ideales de $B$ sobre $p$ corresponden bijectively para el primer ideales de $S^{-1}B$ sobre $pS^{-1}A$.

Así, podemos asumir que el $A$ es local, con la máxima ideal $p$. El primer ideales de $B$ sobre $p$ son los principales ideales de la $B/pB$. Pero esta álgebra $B/pB$ es finito-dimensional $A/p$-espacio vectorial, y por tanto es un noetherian y artinian álgebra, y por lo tanto sólo tiene un número finito de primos ideal [Bourbaki de CA cap. II, §2, n 5, prop. 9].

Editar - Gracias a Zach N por haber señalado el ridículo los errores que cometí. No sé si existe una prueba directa para el último punto.