¿Al determinar la menor sigma-álgebra generada por una colección finita de conjuntos (y por lo tanto, el álgebra más pequeño que contiene esa colección), hay alguna forma más rápido hacerlo que por cómputo directo? ¿En una nota relacionada, hay un criterio para la selección de un conjunto que genera la mejores sigma-algebra (es decir, el poder establecido)?
Respuestas
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Considerar el conjunto de $E_1,\dots,E_N$. Tomar el $S_I:=\bigcap_{i\in I}E_i\cap\bigcap_{i\in [N]\setminus I}E_k^c$ $I\subset [N]$. Estos pares son disjuntos y generar el mismo #%-álgebra de la $\sigma$% #%. Para cada $E_1,\dots,E_N$, definir $I\subset [2^N]$. Entonces el $F_I:=\bigcup_{i\in I}S_i$-álgebra generado por el $\sigma$ es $E_j$.
Tenga en cuenta que el $\{F_I,I\subset [N+1]\}$-álgebra generado por un conjunto finito es finito.
Andreas Blass
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Da finitamente muchos subconjuntos $E_i$ % set $X$, puede definir una relación de equivalencia en $X$ declarando dos elementos para ser equivalente iff pertenecen a la misma $E_i$'s. Entonces los conjuntos en la $\sigma$-álgebra (de subconjuntos de $X$) generados por el $E_i$ son exactamente los sindicatos de clases de equivalencia.
Por cierto, ya que solamente finito muchos sistemas están involucrados aquí, '$\sigma$' es irrelevante; los mismos conjuntos constituyen la álgebra (Boolean) de sistemas generados por el $E_i$'s.
Mike Conigliaro
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1) tomar las intersecciones y complementations hasta llegar a los átomos. A continuación, estos átomos se generará el sigma álgebra. Por otra parte, el sigma álgebra es el poder conjunto de los átomos.
2) si en el proceso de toma de intersecciones, se llega a los conjuntos que forman una partición de la "muestra" que consta de átomos, entonces usted está listo. A fin de tomar las intersecciones hasta que se obtenga dicha partición. Que divertido. Dicha partición determina de forma única la subalgebra.
3) formulario de resultados 1) que el sigma álgebra ha cardenal $2^n$, donde n es el número de átomos; por lo que el cardenal debe ser de la forma 2,4,8,16 etcétera. Esa es una buena razón por comprobar si lo tienes a la derecha.
