En el principio de mínima acción, ¿cómo una partícula sabe donde va a ser en el futuro?

Question

En su libro sobre la Mecánica Clásica, el Prof. Feynman afirma que así es. Pero si esto es realmente lo que sucede (y si el Principio de la menor Acción es más fundamental que las Leyes de Newton), entonces no nos encontramos con algunos problemas graves con respecto a la causalidad? En la Mecánica Newtoniana, una posición de la partícula de la derecha ahora es el resultado de todas las fuerzas que actúan sobre ella en el pasado. Es totalmente determinista, en el sentido de que, dada la posición y la velocidad de ahora, puedo predecir el futuro utilizando las leyes de Newton. Pero el principio de la menor acción se parece a replantear la pregunta diciendo que si la partícula termina en alguna posición arbitraria, entonces tomaría una ruta determinada (es decir, se minimiza la acción). Pero eso significa que la partícula ya sabe donde va a ser y es "naturalmente" toma el camino que minimiza la acción.

¿Hay alguna razón más profunda de por qué esto es cierto? De hecho, el principio de la menor acción parece tan arbitrario que es difícil ver por qué se las arregla para replicar las Ecuaciones de Newton? Si alguno de vosotros tiene alguna información sobre esto, por favor compartir, porque simplemente no puedo conseguir mi cabeza alrededor de ella.

Nota - por Favor, tenga en cuenta, mi pregunta está relacionada con el principio en sí mismo, no de las ecuaciones que resultan de ese principio.

Answer 1

La partícula " no "sabe" nada. El principio de la menor acción se utiliza cuando ya sabemos que los extremos de la ruta, y queremos averiguar cómo la partícula se obtuvo a partir de la inicial a la posición final. Es necesario especificar la posición final de antemano.

En la cara de ella, esto hace que se parezca menos a la acción no puede hacer predicciones sobre el futuro. Sin embargo, eso no es un problema porque dado por lo menos un principio de acción, que al instante se puede derivar un local de la ecuación diferencial, llamado el de Euler-Lagrange ecuación, que tiene en cada punto por cada vía legal. En casi todos los cálculos prácticos, trabajamos con Euler-Lagrange, no la acción completa.

Tal vez Feynman olvidado de mencionar esto porque él creó la ruta integral de la formulación de la mecánica cuántica, en la que la partícula en realidad es inteligente, y no 'olfatear' cerca de las rutas. (Hay formas de extraer local de las ecuaciones de la ruta integral de formalismo, tales como la Schwinger-Dyson ecuaciones. Pero por lo que he leído de Feynman, realmente le gustaba la imagen global con un misteriosamente inteligente de partículas.)

Answer 2

Imagina que tienes una posición inicial.

Luego hay un montón de diferentes velocidades iniciales y los diferentes velocidades podría tener que terminan en diferentes lugares. Tan diferente de la velocidad inicial podría darle un final diferente posición.

Así que en lugar de describir los diferentes velocidades iniciales en su lugar podría describir las diferentes posiciones finales.

Eso es lo que el principio extremal de acción. En lugar de la fijación de la velocidad inicial se corrige la posición final. En el final se puede obtener una ecuación de movimiento, y que ni siquiera tenía que decir cuál es la posición final de la era. Y así como hubo una posición final (es decir, la partícula no dejan de existir antes de $t=t_f$), entonces todo funciona bien.

Y no todos los potenciales plus posición inicial, además de la velocidad inicial da una única solución de acuerdo a las Leyes de Newton. Usted podría tratar de proponer que, como el de Newton zeroeth la ley, pero en primer lugar, que históricamente engañosa, y aún así ¿qué restringir ciertas posiciones iniciales, ciertas velocidades iniciales, ciertos potenciales?

Pero ni el principio extremal de la acción ni las leyes de Newton del movimiento requieren que existe una solución única, que acaba de predecir la real solución satisface una ecuación.

Answer 3

No tome Feynman del lenguaje metafórico en el valor de cara. No hay ni clásica "partículas" ni las clásicas "causalidad" en la teoría cuántica, que, presumiblemente, se describe lo que "realmente" sucede, ambos son artefactos de la descripción clásica. Y en la descripción clásica de la sólo físicamente hecho relevante es que las trayectorias clásicas tienen que obedecer las leyes clásicas, de forma equivalente, expresada en Newton o menos de formulario de acción. El resto como "determinista" o "partícula sabe" son los recursos literarios utilizados para explicar el significado de estas leyes estatales. Podemos inferir de la partícula posibles estados futuros de la actual a partir de las leyes de Newton, pero también podemos resolver las ecuaciones de Newton en invertido tiempo, y deducir su posible pasado de los estados en su lugar. Esto no "replantear" las leyes de Newton de la causalidad a la teleología o viceversa, tampoco son "reformulada" cuando nos re-expresar en la forma de un principio extremal, ver las Disputas acerca de la posible teleológico aspectos.

Y "el principio de la menor acción" es un término equivocado, la trayectoria debe ser un extremal de menos la acción, no necesariamente minimizar (la diferencia es la misma que entre los puntos críticos y los máximos/mínimos de funciones). Y la anterior a diferencia de este último es una condición local, es decir, la partícula no necesita "conocer" a su destino a extremize la acción, que es la razón por la que las trayectorias pueden ser calculadas a nivel local de las leyes de Newton.

Answer 4

Imagina el agua de lluvia cae sobre una montaña de rizado. Cada gota de agua sigue la mecánica newtoniana determinista y sigue el camino 'más fácil', con sucesivas gotas formando 'trayectorias' y que fluye en corrientes.

Esto es básicamente el principio de mínima acción. Cada caída obedece a las fuerzas locales, pero durante un largo intervalo de tiempo - el integral del tiempo de acción es mínimo, comparado con cerca de caminos alternativos.

Answer 5

Estoy bastante seguro de que Feynman punto no tiene nada que ver con la comparación de las Leyes de Newton a la ecuación de Lagrange o a la Hamiltoniana las ecuaciones de movimiento en el contexto de la mecánica clásica y todo lo relacionado con la capacidad de Lagrangiana y Hamiltoniana de la mecánica para ser extendido para cubrir el campo de las teorías como las de Maxwell y de la mecánica cuántica, sin invocar a los nuevos principios.

Que es Lagrangiana de la mecánica puede describir en el mismo formalismo y en la base conceptual tanto de la mecánica Newtoniana y las Ecuaciones de Maxwell. El Lagrangians de campos utilizar exactamente el mismo formalismo como los de sistemas discretos (a pesar de que han de infinitas dimensiones de la fase de espacios).

Si la cita fueron simplemente acerca de la mecánica clásica, a continuación, cualquier reclamo de prioridad para la versión tendría un tiempo difícil porque se puede llegar a la ecuación de Lagrange comenzando con nada más que las Leyes de Newton (que es sin Hamilton Principio, que es la forma de Lagrange hizo; véase Goldstein, por ejemplo) o en las Leyes de Newton a partir de la ecuación de Lagrange. Por lo tanto, la implicación de la cita ha de ser entendido en un contexto más amplio.

Por último, la aplicación de la ecuación de Lagrange absolutamente no requiere de ningún conocimiento previo. La ecuación es completamente local, como las Leyes de Newton. El encuadre en términos de rutas de minimizar la acción, simplemente implica que la regla sigue siendo aplicable a medida que pasa el tiempo.