El cociente $\frac{\text{perimeter}}{\text{diameter}}$ de círculos en la superficie de curvatura constante $0$ es constantemente $3.14\dots$ y se llama $\pi$.
¿Este cociente es una constante para cada otra superficie de curvatura constante $\kappa$?
Entonces, ¿cómo (por qué fórmula) esta constante depende de $\kappa$?
En una esfera de 2 dimensiones de radio $R$, los discos correspondería a las tapas de un cono con vértice en el centro de la esfera (con la abertura dada por un ángulo $0<\phi<\pi$). Puesto que las tapas son círculos de radio $R\sin \phi$ y el diámetro sería ser la longitud de un arco de gran círculo (que tiene apertura $2\phi$), la relación seria\begin{equation}\frac{c}{d}=\frac{2\pi R\sin \phi}{2R\phi}=\frac{\pi\sin \phi}{\phi}. \end{equation}
La relación no es constante en las superficies de la no-curvatura cero. Deje $d(x)$ ser la relación del perímetro de un círculo de diámetro $x$ por el diámetro. Si la curvatura es negativa, entonces esta es estrictamente una función creciente, mientras que si la curvatura es positiva, es es estrictamente una función decreciente. Es bastante fácil ver que con modelos específicos para tales espacios de curvatura constante y directamente de computación. Por ejemplo, para los círculos sobre una esfera, esto es muy sencillo: el perímetro del círculo, como el diámetro aumenta, alcanza un máximo y luego empieza la reducción.
No sé de una fórmula exacta, por lo que estarán esperando a otras respuestas.
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