Esta pregunta se relaciona con la siguiente pregunta que acabo de ver que fue publicado por Anton. Su pregunta es si un algebraica de espacio, que es un grupo de objetos es necesariamente un esquema de grupo, y la respuesta parece ser que SÍ. Ahora mi ingenua idea de lo algebraica de espacio es , es que es el cociente de un esquema de un etale relación de equivalencia, pero me parece que se confunde a mí mismo. Espero que alguien ayude me llevan fuera de mi confusión.
Permítanme en primer lugar considerar la posibilidad de una análoga situación topológica, donde la respuesta es no. Se puede considerar que la categoría de suave espacios, por que me refiero a la categoría de las poleas en el sitio de suave colectores que son cocientes de colectores por suavizar las relaciones de equivalencia (con fibras discontinuas).
Aquí está un ejemplo: Si tenemos un grupo discreto G actuar (sin complicaciones) en un espacio X, podemos formar la relación de equivalencia $R \subset X \times X$, donde R se compone de todos los pares de puntos de $(x,y) \in X \times X$ donde $y= gx$ algunos $g \in G$. Si R es una variedad diferenciable, entonces la gavilla $[X/R]$ (que se define como un coequalizer de poleas) es un espacio liso.
Aquí está un ejemplo de un objeto de grupo en suave espacios: empezamos con la propiedad conmutativa de la Mentira de grupo $S^1 = U(1)$. Ahora elija un número irracional $r \in \mathbb{R}$ que pensamos como el punto de $w = e^{2 \pi i r}$. Dejamos $\mathbb{Z}$ actuar en $S^1$ por rotación "r", es decir,
$\mathbb{Z} \times S^1 \to S^1$
$ (n, z) \mapsto w^n z$
Esto nos da una relación de equivalencia $R = \mathbb{Z} \times S^1 \rightrightarrows S^1$, donde un mapa es la acción y la otra proyección. Las fibras son discretos y el cociente gavilla es, pues, un espacio liso, que no es un colector. Sin embargo, el groupoid $R \rightrightarrows S^1$ tiene más estructura. Es un grupo de objetos en groupoids, y esto le da el cociente gavilla de una estructura de grupo.
La estructura del grupo en los objetos $S^1$ y morfismos $R$ acaba de dar por obvio que las estructuras de grupo. Por cierto, este grupo de objetos en groupoids sirve como una especie de modelo para el "quantum " torus", 0604.5405.
Ahora, ¿qué sucede cuando tratamos de copiar este ejemplo en el contexto algebraico de espacios y esquemas?
Vamos a hacer más fácil y el trabajo a través de los números complejos. Un análogo de la $S^1$ es el esquema de grupo $\mathbb{G}_m / \mathbb{C} = spec \mathbb{C}[t,t^{-1}]$.
Cualquier grupo discreto da lugar a un esquema de grupo sobre $spec \mathbb{C}$ viendo el set $G$ como el esquema de
$\sqcup_G spec \mathbb{C}$
Así, por ejemplo, podemos ver los números enteros $\mathbb{Z}$ como un esquema de grupo. Este (propiedad conmutativa) esquema de grupo debe tener la propiedad de que un homomorphism de que a cualquier otro grupo de esquema es el mismo como la especificación de una sola $spec \mathbb{C}$-punto de destino (conmutativa) esquema de grupo.
Un $spec \mathbb{C}$ punto de $spec \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ es especificado por un elemento invertible de $\mathbb{C}$. Vamos a arreglar una, que es la dada por el elemento $w \in S^1 \subset \mathbb{C}^\times$. Así que esto da lugar a un homomorphism $\mathbb{Z} \to \mathbb{G}_m$ y, por tanto, una acción de $\mathbb{Z}$$\mathbb{G}_m$.
Ingenuamente, la misma construcción que parece funcionar para producir un objeto de grupo algebraica de los espacios que no es un esquema. Así que mi pregunta es: ¿de dónde viene este fracaso?
Hay un par de posibilidades pensé, pero no he sido capaz de comprobar:
- Qué $R = \mathbb{Z} \times \mathbb{G}_m$ dejar de ser una relación de equivalencia por alguna razón técnica?
- Hacer los mapas $R \rightrightarrows \mathbb{G}_m$ menos de ser etale?
- Hay algo que me estoy perdiendo?
