¿Por qué el autor advirtió "No lo hagas" al evaluar el límite de $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{\sin ^4 x}$ ¿así?

Question

Esto se extrae de Cálculo diferencial por Amit M Agarwal:

Evaluar $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{\sin ^4 x}$$

La pregunta es bastante fácil utilizando la identidad trigonométrica a saber. $1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ y luego usar $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}= 1\,.$ La respuesta es $\frac{1}{8}\,.$

Sin embargo, tras evaluar el límite, el autor advirtió como

¡No lo hagas!

\begin{align}\lim_{x\to 0} \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{\sin ^4 x} & =\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x^2\right)}{x^4}\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(\frac{x^2}{2}\right)}{x^4}\qquad \left(\textrm{As}\, \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}= \frac{1}{2} \right)\\&= \lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2 \frac{x^2}{4}}{\frac{x^4}{16}\times 16}\\&= \frac{1}{8}\qquad \textrm{is wrong although the answer may be correct}\,.\end{align}

¿Dónde está el "mal" en la evaluación?

Editar:

• [...] el límite como $x\to 0$ se toma por una subexpresión. Eso es generalmente inválido.

• No podemos evaluar un límite dentro de un límite así.

• Mientras se evalúa el límite de una expresión complicada no se debe sustituir una subexpresión por su límite y continuar con los cálculos posteriores.

Ahora, considera estos límites:

$$\bullet \lim_{x \to 4} \log(2x^{3/2}- 3x^{1/2}-1)$$

mi libro resuelve esto como:

$$\log\; [\lim_{x\to 4} 2 x^{3/2}- \lim_{x\to 4} 3x^{1/2} - \lim_{x\to 4} 1]= 2\log 3$$

Otra más:

$$\bullet \lim_{x\to 1} \sin(2x^2- x- 1)$$

Esto se resuelve como;

$$\sin\;[\lim_{x\to 1} 2x^2 \lim_{x\to 1} x- \lim_{x\to 1} 1]= \sin 0= 0$$

Los siguientes límites se evalúan primero evaluando los límites de sub-expresiones . ¿Se contradice la afirmación _ no se puede tomar el límite de un sub-expresión mientras se evalúa el límite de la función completa_?

Answer 1

La segunda igualdad es precisamente lo que está mal. No podemos evaluar un límite dentro de un límite así. Para que quede más claro, veamos otro ejemplo.

Considere un límite $$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{x}$$

Tenemos $\lim\limits_{x\rightarrow0}x=0$ pero no podemos decir $$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{0}{x}$$ Dado que el límite en el LHS es claramente $1$ y en el lado derecho está claramente $0$ . Incluso si en el caso del límite en cuestión la respuesta fuera correcta (cosa que no me he molestado en comprobar), la forma de evaluar este límite no es válida, por lo que no deberías hacerlo.

Answer 2

Mientras se evalúa el límite de una expresión complicada se debe no sustituir una subexpresión por su límite y continuar con los cálculos posteriores. Así, el paso en el que se sustituye $(1 - \cos x)/x^{2}$ por $1/2$ no está permitido.

Sin embargo, hay dos situaciones en las que se pueden hacer estas sustituciones:

1) Si una subexpresión está conectada de manera aditiva al resto de la expresión, entonces esta subexpresión puede ser sustituida por su límite (siempre que el límite exista). Más formalmente si $\lim_{x \to a}g(x)$ existe y es igual a $L$ entonces $$\lim_{x \to a}\{f(x) \pm g(x)\} = \lim_{x \to a}f(x) \pm L$$ independientemente del hecho de que $\lim_{x \to a}f(x)$ existe o no.

2) Si una subexpresión está conectada de forma multiplicativa al resto de la expresión, entonces esta subexpresión puede ser sustituida por su límite (siempre que el límite exista y sea no es cero ). Más formalmente si $\lim_{x \to a}g(x)$ existe y es igual a $L \neq 0$ entonces $$\lim_{x \to a}f(x)g(x) = L\lim_{x \to a}f(x),\,\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{L}\lim_{x \to a}f(x)$$ independientemente del hecho de que $\lim_{x \to a}f(x)$ existe o no.

Estos son los sólo dos situaciones donde podemos sustituir la subexpresión ( $g(x)$ en las versiones formales mencionadas anteriormente) con su límite ( $L$ ).

Los teoremas anteriores nos ayudan mucho a simplificar la evaluación del límite de una expresión complicada porque en cada paso podemos sustituir una subexpresión por su límite sin preocuparnos del límite de la parte restante de la expresión ( $f(x)$ en la versión formal), reduciendo así las expresiones complicadas a otras más sencillas. Obsérvese también que mediante el uso de estas reglas podemos inferir la existencia (o inexistencia) del límite de una expresión complicada (formada por $f(x), g(x)$ ) a partir de la existencia (o inexistencia) del límite de una expresión más simple ( $f(x)$ ).

Actualización : OP ha planteado un punto muy interesante (a través de los comentarios) en el que una sub-expresión podría no estar relacionada con el resto de la expresión a través de operaciones aritméticas $+,-,\times,/$ sino a través de un símbolo funcional. En este caso tenemos la regla de que el orden de una operación límite y la operación funcional pueden intercambiarse siempre que la función sea continua . Más formalmente si $f$ es continua, entonces $$\lim_{x \to a}f(g(x)) = f(\lim_{x \to a}g(x))$$ Tenga en cuenta que en este caso no sustituir una subexpresión por su límite Aquí la operación principal es intercambiando el orden de aplicar la operación límite y la operación funcional. El ejemplo mencionado en su comentario utiliza el hecho de que el $\log$ es continua dondequiera que se defina y, por lo tanto, el intercambio de la operación límite y $\log$ la operación está justificada.