Suma de la energía del $11^\mathrm{th}$ de las raíces de la ecuación de $x^5+5x+1=0$

Question

Encontrar la suma de la potencia de $11^\mathrm{th}$ de las todas las raíces de la ecuación

$$ x ^ 5 + 5 x + 1 = 0 $

Mi intento:

Que $R=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\mu\}$ ser el conjunto de todas las raíces de la ecuación de ${x^5+5x+1=0}$ y que $x\in R$. Entonces tenemos

$$\begin{align} x^5 &= -\left(5x+1\right)\\ x^{10}&=25x^2+1+10x\\ \tag1 x^{11}&=25x^3+10x^2+x \end {Alinee el} $$

Tomando la suma de $(1)$ en todos los elementos $x\in R$ nos da

$$ \sum_{x\in R} x ^ {11} = 25\cdot\sum_ {x\in R} x ^ 3 + 10\cdot\sum_ {x\in R} x ^ 2 + \sum_ {x\in R} x $$

¿Cómo puedo solucionar el problema desde este punto?

Answer 1

Si $r$ es una raíz, $r^5 = -5r - 1$, por lo tanto, $r^{10} = (5r + 1)^2$ y $r^{11} = r(5r + 1)^2$. Esto simplifica enormemente los cálculos posteriores. También podemos observar $r^3 = -5r^{-1} - r^{-2}$, por lo que obtenemos $$\begin{align*} r^{11} &= 25r^3 + 10r^2 + r \\ &= 25(-5r^{-1} - r^{-2}) + 10r^2 + r \\ &= r - 125r^{-1} + 10r^2 - 25r^{-2}\end{align*}.$$ So if $\{r_i\}_{i=1}^5$ are the five nonzero* complex roots of the given quintic $$f(x) = (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)(x-r_5) = x^5 + 5x + 1,$$ then $\{r_i^{-1}\}_{i=1}^5$ are roots of the polynomial $$\begin{align*} f(1/x)x^5 &= x^5 \prod_{i=1}^5 (x^{-1} - r_i) = \prod_{i=1}^5 r_i (r_i^{-1} - x) \\ &= -r_1 r_2 r_3 r_4 r_5 \prod_{i=1}^5 (x - r_i^{-1}) \\ &= x^5 + 5x^4 + 1. \end{align*}$$ (* We know they are nonzero since $f(0) = 1$.)

A continuación, ¿cómo encontramos un polinomio cuyas raíces son $\{r_i^2\}_{i=1}^5$? Esto se hace fácilmente observando $$\prod_{i=1}^5 (x - r_i^2) = \prod_{i=1}^5 (\sqrt{x} - r_i)(\sqrt{x} + r_i) = -f(\sqrt{x})f(-\sqrt{x}) = x^5 + 10x^3 + 25x - 1.$$ And a polynomial with roots $\{r_i^{-2}\}_{i=1}^5$ is, by a combination of the above reasoning, $$x^5 - 25x^4 - 10x^2 - 1.$$

En consecuencia, $$\begin{align*} \sum_{i=1}^5 r_i^{11} &= \sum_{i=1}^5 (r_i - 125r_i^{-1} + 10r^2 - 25r^{-2}) \\ &= 0 - 125 (-5) + 10(0) - 25(25) = 625 - 625 \\ &= 0. \end{align*}$ $

Answer 2

Usted puede utilizar la técnica de Newton Sumas que @user157227 comentario insinuado

SOLUCIÓN: Básicamente imagínese si usted factorizado el polinomio en sus 5 raíces

$$(x - r_1)(x - r_2)..(x - r_5)$$

Y luego se expandió que:

rápidamente se hará evidente de obtener una respuesta de la forma

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 ... a_4x^4 + x^5$$

tal que

$$ \begin{matrix} a_4 = r_1 + r_2 ... r_5 \\ a_3 = r_1r_2 + r_1r_3 + ... + r_1r_5 + r_2 r_3 + ... + r_2 r_5 + ... r_4 r_5 \\ a_2 = r_1 r_2 r_3 + r_1 r_2 r_4 + ... r_3 r_4 r_5 \\ a_1 = r_1r_2r_3r_4 + ... +r_2 r_3r_4r_5 \\ a_0 = r_1r_2r_3r_4r_5 \end{matrix} $$

Así, para resolver el caso de la suma de todos los 11 de las potencias de las raíces necesitamos sólo para resolver la tercera, la 2ª y la única de las competencias, que en su fórmula. Empezamos con:

la suma de todos los poderes es meramente $a_4: \ (r_1 + r_2 .. r_5)$

Para encontrar los cuadrados de todos los poderes en cuenta que podemos calcular

$$(r_1 + r_2 + \ ... \ + r_5)^2 = \sum(r_i^2) + 2\sum(r_ir_j) = \sum(r_i^2) + 2a_3 \rightarrow (a_4)^2 - 2a_3 = \sum(r_i^2) = \Omega_1 $$

Para encontrar el cubo de todas las facultades

$$(r_1 + r_2 + \ ... \ r_5)^3 = \sum(r_i)^3 + 3\sum(r_i^2r_j) + 6\sum(r_ir_jr_k) = 6(r_1r_2r_3 + ... r_3r_4r_5) + 3(r_1^2 + ... + r_5^2)(r_1 + ... + r_5) - 2\sum(r_i)^3 \rightarrow \sum(r_i)^3 = -\frac{1}{2} \left( a_4^3 - 6(a_2) + 3(\Omega_1)a_4 \right) = \Omega_2$$

Ahora desde $a_4,a_3,a_2$ son igual a 0, se sigue que

$$25\sum(\Omega_2) + 10\sum(\Omega_1) + a_4 = 0$$

Answer 3

Han hecho un buen comienzo. Ahora recuerdo que el coeficiente de $x^4$ en la ecuación original es el negativo de la suma de las raíces. Tienes un desafortunado reutilización de $\alpha$, una vez como una de las raíces y una vez como una raíz genérica, pero en la última ecuación $\sum \alpha=0$ ¿qué significa esto para los otros términos?