Extensión de un homomorfismo del grupo

Question

Deje $G$ $K$ ser (posiblemente no Abelian) grupos y deje $\phi:G\rightarrow K$ ser un homomorphism. Deje $\bar{G}$ ser un grupo que contiene a $G$ como un subgrupo.

Siempre es posible extender $\phi$ a un homomorphism $\bar{\phi}:\bar{G}\rightarrow K$ (que $\bar{\phi}$ restringido a $G$ $\phi$ sí)? Si no ¿qué condiciones son necesarias para que esto sea cierto?

He visto en algún sitio que para el Abelian caso si $K$ es divisible esto es posible, pero estoy más interesado en la no-Abelian caso.

Siempre es posible extender $\phi$ a un homomorphism $\bar{\phi}:\bar{G}\rightarrow \bar{K}$ donde $\bar{K}$ es un grupo que contiene a $K$ como un subgrupo? Si no ¿qué condiciones son necesarias para que esto sea cierto?

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta es "no", incluso si se supone $G$, $\bar{G}$, y $K$ son todos isomorfo! Tomemos, por ejemplo,$\bar{G} = K = \mathbb{Z}$, $G \subset \bar{G}$ para ser el subgrupo generado por a $\{2\}$, y deje $\phi$ mapa de $2 \in \bar{G}$$1 \in K$.

Si usted está autorizado a extender $K$, entonces siempre se puede encontrar $\bar{\phi}$ por la siguiente construcción: Vamos a $A$ ser un generador de $G$, y deje $\bar{A}$ ser tal que el conjunto de $A \cup \bar{A}$ genera $\bar{G}$. Ahora tome una presentación explícita de $\bar{G}$ con este set de generación de energía, y llamar al conjunto de las relaciones de $R$.

A continuación, vamos a $B \subset K$ ser tal que el conjunto de $B \cup \phi(A)$ genera $K$, y tomar una presentación explícita de $K$ el uso de este generador. Llame al conjunto de las relaciones de $R'$.

Para la construcción de $\bar{K}$, vamos a formar una nueva presentación. La generación de juego será (simbólicamente) $A \cup \bar{A} \cup B$, y las relaciones serán todo lo $R'$ (con el símbolo $\phi(a)$ sustituye por el símbolo $a$), junto con todo lo en $R$. A continuación, $\bar{K}$ claramente contiene a $K$ como un subgrupo (es el subgrupo generado por a $A \cup B$).

Deje $\bar{\phi}: \bar{G} \rightarrow \bar{K}$ entonces el homomorphism definido para tomar generadores en $\bar{G}$ a la de sus homólogos en $\bar{K}$. Este es de hecho un homomorphism puesto que las relaciones en $\bar{G}$ están satisfechos por sus imágenes, y está de acuerdo con $\phi$$G$.

Answer 2

$A_4$ tiene un subgrupo normal de $4$ elementos, por lo tanto, un homomorfismo en $C_3$. $A_4$ es un subgrupo de $S_4$. $S_4$ no tiene ningún subgrupo normal de orden $8$, por lo tanto, no homomorfismo a $C_3$ que se extiende al que está definido en $A_4$.

Answer 3

No. Fácil contraejemplo: considerar el diedro grupo $D_4 = \langle r,s \mid r^4 = s^2 = 1, \: rs = sr^{-1} \rangle$. Considere la posibilidad de un morfismos $\chi \colon D_4 \to \mathbb C^*$; a continuación,$\chi(s) \in \{\pm 1\}$, mientras que $\chi(r) \in \{\pm 1, \pm i\}$. Conjunto $w = \chi(r)$, $z = \chi(s)$. A continuación,$wz = \chi(rs) = \chi(sr^3) = zw^3$, por lo tanto $w^2 = 1$, es decir,$\chi(r) \in \{\pm 1\}$.

Ahora, considere la posibilidad de $H = <r> \subset D_4$ y deje $\varphi \colon H \to \mathbb C^*$ ser definido por $\varphi(r) := i$. Esto está bien definido, y no puede ser extendido.

Por cierto, este contraejemplo tiene el mérito de que el grupo de aterrizaje es $\mathbb C^*$, que es divisible. En un abelian caso, todos los morfismos hacia la $\mathbb C^*$ puede ser extendido, porque más de un PID divisible implica inyectiva (gracias a Baer criterio).