En general, la variación total de una medida (que aparece en la identificación de $C^*$, dotado con el operador de la norma, con el espacio de Radón medidas, dotado de la variación total), que se define por $\mu\in C_0(\Omega)^*$
$$|\mu|(\Omega) := \sup\left\{\sum_{i=0}^\infty |\mu(X_i)|:\bigcup_{i=0}^\infty X_i = \Omega\right\},$$
no es el mismo que el total de la variación de una función (que aparece en la definición de la normativa espacio de $BV$), definido por $f\in BV(\Omega)$
$$ TV(f) := \sup \left\{\int_\Omega f (-\mathrm{div} \varphi) \,dx: \varphi\in(C_0^\infty(\Omega))^n,\, \sup_{x\in\Omega}|\varphi(x)|\leq 1\right\}.$$
Se podría decir, sin embargo, que si una función de variación acotada, su distribución gradiente existe como una medida de Radón. La variación total (en el sentido de la seminorm en $BV$) de la función es la misma como la variación total (en el sentido de las medidas) de su gradiente de distribución.
Sin embargo, en el caso unidimensional, la representación de Riesz teorema de la realidad se obtiene una función de variación acotada (esto es en el hecho de Riesz' declaración original de 1909). En este caso, la integración con respecto a una función (de la limitada variación) en el sentido de Riemann-Stieltjes integral.
