Soy auto-estudio del Modelo de la Teoría a través de Hodges libro Modelo de la Teoría y se quedó atascado en el siguiente problema (ver más abajo para la notación):
La sección 2.2, el Problema 9: Para cada una de las siguientes clases, demostrar que puede ser definido por una única frase de $L_{\omega_1\omega}$. (a) factorización Única dominios. (b) Director de ideal dominios. (c) los dominios de Dedekind. (d) Semisimple anillos. (e) a la Izquierda coherente de los anillos. (f) a la Izquierda artinian anillos. (g) Noetherian local conmutativa anillos. (h) Grupos de $G$ que si $H,K$ son dos isomorfo finitely generado subgrupos de $G$ $H$ es congruente a $K$$G$.
El problema se reduce a repetir las propiedades de cada elemento de una manera adecuada, sin tener que lidiar directamente con los ideales y subgrupos, sino únicamente con los elementos del anillo en cuestión (un número finito de ellos en un momento). Ver abajo para más detalles.
Mi problema es:
Problema: no sé cómo resolver los puntos (b), (c), (d), (f) y (g), porque no sé cómo escribir en condiciones ideales (y las cadenas de estos) en el idioma especificado.
Algunas anotaciones: La firma de $L$ para los anillos es $\langle 0,1,+,-,\cdot\rangle$. Dado un ordinal $\kappa$, podemos definir el lenguaje de $L_{\kappa\omega}$ en la forma habitual, pero permitimos que las disyunciones y conjunción en conjuntos de cardinalidad $<\kappa$, es decir, si $I$ es un conjunto de fórmulas de $L_{\kappa\omega}$$|I|<\kappa$, $\bigvee_{\phi\in I}\phi$ $\bigwedge_{\phi\in I}\phi$ son fórmulas de $L_{\kappa\omega}$ (pero sólo podemos poner cuantificadores más de un número finito de variables: eso es lo que el $\omega$ $L_{\kappa\omega}$ medio).
Por ejemplo, aquí es cómo se puede hacer (h) (creo que el autor quiso decir "conjugado" en lugar de "congruente"): utilizamos variables $x_i,y_i,z_i,\ldots$. Por otra parte, si las variables $x_1,\ldots,x_k$ están obligados, escribimos $\overline{x}=x_1\ldots x_k$.
Dado variables $x,y_1,\ldots,y_k$, vamos a escribir: $$x\in\langle \overline{y}\rangle:\bigvee_{n<\omega}\exists z_1\ldots z_n\left[\left[\bigwedge_{1\leq i\leq n}\bigvee_{1\leq j\leq k}(z_i=y_j)\lor (z_i=y_j^{-1})\right)\land x=z_1\cdots z_n\right]$$ que se puede leer, en el lenguaje de los grupos, como "$x$ pertenece al subgrupo generado por la $y_i$".
También podemos escribir una fórmula para dos finitely generado subgrupos a ser isomorfo: Considerar las variables de $p_1,p_2,\ldots$, y todos los términos de $t(\overline{p})$ en el idioma de los grupos que tienen estas variables. Sólo hay countably muchos de estos términos. Decir que hemos variables$x_1\ldots x_k$$z_1\ldots z_k$. Escribimos $$\langle\overline{x}\rangle\simeq\langle\overline{z}\rangle:\bigwedge_{t(\overline{p})}(t(\overline{x})=1\leftrightarrow t(\overline{z})=1),$$ donde $t(\overline{x})$ significa que podemos cambiar cada ocurrencia de la variable $p_i$$x_{i\bmod k}$, y del mismo modo para $t(\overline{z})$. La fórmula por encima de los estados que los mapas de $x_i\mapsto z_i$ se extiende a un isomorfismo de los generados subgrupos.
Por último, la condición en la que el ejercicio puede ser expresada por $$\bigwedge_{n<\omega}\forall x_1\ldots x_n,z_1\ldots,z_n\left[\langle\overline{x}\rangle\simeq\langle\overline{z}\rangle\rightarrow\exists g\left(\bigwedge_{1\leq i\leq k}gx_ig^{-1}\in\langle\overline{z}\rangle\land g^{-1}z_ig\in\langle\overline{x}\rangle\right)\right]$$ y la conjunción de esta frase con el habitual grupo de axiomas es una fórmula en $L_{\omega_1\omega}$ que funciona.
EDIT: Aquí hay un par de soluciones para algunos de los artículos.
El punto (b): Un anillo es un PID iff cada finitely generado ideal es principal, o, equivalentemente, iff cada $2$generados ideal es principal (de Bézout de dominio), y es una UFD (punto a)). Todos estos pueden ser escritos en $L_{\omega_1\omega}$.
El punto (d): en primer lugar recordar un anillo $R$, el ideal generado por algunos $x\in R$$(x)=\left\{ax+xb+cxd:a,b,c,d\in R\right\}$, e $R$ es simple iff es el ideal generado por cualquier elemento distinto de cero. Así, un anillo semisimple es una de la que no se $n$$x_1,\ldots,x_n$, $(x_i)\cap (x_j)=0$ si $i\neq j$, y para el que $(x_i)=(x)$ cualquier $x\in (x_i)$. Todos estos pueden ser escritos en $L_{\omega_1\omega}$
Elemento (e): Un anillo de $R$ es de izquierda coherente iff cada finitely generado ideal es finitely presentado. Podemos repetir esto de la siguiente manera: Para cada $n$, y para cada $a_1,\ldots,a_n$, $m$ y términos de $t_1(\overline{x}^1,\overline{p}),\ldots,t_m(\overline{x}^m,\overline{p})$, de la forma $t_i(\overline{x}^i,\overline{p})=x^i_1p_1+\cdots+x^i_np_n$ (donde $x^i_j$ $p_j$ son variables) en el idioma de los anillos, y existen $r^i_j\in R$, $1\leq i\leq m$, $1\leq j\leq n$, para que $t_i(\overline{r}^i,\overline{a})=0$ todos los $i$, y tal que para cada a $s_1,\ldots,s_n$ si $s_1a_1+\cdots+s_na_n=0$ hay $q_1,\ldots,q_m$ tal que para cada $i$ $s_i=\sum_jq_jr_i^j$.
Esto significa que las relaciones $t_i(\overline{r},\overline{p})=0$, que hagan sentido para la izquierda $R$-módulos, se satisface por los generadores $a_i$, el mapa de la libre módulo generado por $p_1,\ldots,p_n$, la asignación de $p_i\mapsto a_i$, tiene precisamente el módulo generado por $t_i(\overline{r},\overline{p})$ como su núcleo.
