Preguntas sobre el Riemann-Siegel $\theta$ Función

Question

Mis preguntas son una petición, por favor, de ayuda para entender algunos comentarios en el artículo de la wikipedia que habla del Riemann-Siegel $\theta$ función http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function :

La serie para $\theta (t)$ :

$$\theta(t) = -\frac{\gamma + \log \pi}t - \arctan 2t + \sum_{n = 1}^\infty (\frac{t}{2n} - \arctan (\frac{2t}{4n + 1}))$$

"Para valores con parte imaginaria entre -1 y 1, la función arctangente es holomorfa, y se ve fácilmente que la serie converge uniformemente en conjuntos compactos en la región con parte imaginaria entre -1/2 y 1/2, dando lugar a una función holomorfa en este dominio. Se deduce que la función Z también es holomorfa en esta región, que es la franja crítica".

-- En primer lugar, ¿es correcto que la rama principal del $\arctan$ es para los valores de t, Im $s$ la parte imaginaria entre $- 1$ y $1$ ?

-- Entonces, teniendo en cuenta el segundo término en el RHS, $t$ está por tanto limitado a estar entre $- 1/2$ y $1/2$ ?

-- a) Por último, no entiendo por qué el dominio $- 1/2 < t < 1/2$ se denomina "la franja crítica". Sobre todo porque "t" está en la dirección imaginaria.

Entonces, b) presumiblemente, se supone que $Re (s) = 1/2$ por lo que en un disco abierto centrado en ese punto con un radio $< 1/2$ , $\arctan 2t$ sería holomorfo - ¿es este pensamiento correcto?

c) Y además, cómo es esta región entonces la franja crítica. Supongo que por continuación analítica. Si esto es correcto, también agradecería ayuda en cuanto a cómo se hace realmente.

Muchas gracias.

Answer 1

El $\arctan$ puede reescribirse como : $$\arctan\;z=\frac i2\log\frac{i+z}{i-z}$$

que admite dos puntos de ramificación en $\,z=\pm i\,$ permitiendo definir $\,\arctan\;z\,$ en todo el plano complejo, excepto dos cortes en las semilíneas $(-\infty\,i,-i]$ y $[i,+\infty\,i)$ . Esto implica que :

1. La principal rama del $\arctan$ es holomorfa para valores de $\,t\,$ tal que $-1<\Im\,t<1$ .
2. A partir del segundo término $\,\arctan(2\,t)\,$ con $-1<2\;\Im\,t<1$ (ya que los otros términos de $\arctan$ tienen coeficientes más pequeños) y la convergencia uniforme de la serie para $\theta(t)$ en conjuntos compactos en la región $- \frac 12 < \;\Im\,t < \frac 12\;$ conseguimos que $\theta(t)$ es holomorfo allí.
3. a) Más exactamente queremos $- \frac 12 < \;\Im\,t < \frac 12\;$ pero recuerda que $t$ aparece en $\,s:=\frac 12+it\,$ .
   Lo que suele ser real $\,t\,$ se amplió aquí a valores complejos $\,t:=u+iv\,$ con $- \frac 12 < v < \frac 12\;$ .
   Tras la sustitución de $\,t\,$ nuestro $\,s\,$ se convierte en $\,s=\frac 12-v+iu\,$ .
   Por supuesto $\;0<\Re(s)=\frac 12-v<1\,$ mientras que $\;\Im(s)=u\,$ puede ser cualquier valor real y obtenemos simplemente la franja crítica zeta clásica (desde el punto de vista de la variable $\,s$ ).
   En el $t$ espacio" esto corresponderá a la banda horizontal $- \frac 12 < \;\Im\,t < \frac 12\;$ .
   b) y c) En este punto podemos utilizar la definición $$Z(t):=\zeta\left(\frac 12+it\right)\;e^{i\,\theta(t)}$$ y el hecho de que $\zeta\left(\frac 12+it\right)$ y $\theta(t)\,$ son ambas holomorfas para cualquier complejo $t$ tal que $- \frac 12 < \;\Im\,t < \frac 12\;$ (no sólo en un círculo) para concluir que :
   $Z(t)$ es holomorfo en la banda $- \frac 12 < \;\Im\,t < \frac 12\;$ (es decir, en la franja crítica utilizando $\,s=\frac 12+it$ ).

Espero que esto aclare las cosas,