Área de un polígono irregular

Question

Estaba buscando métodos sobre cómo calcular el área de un polígono y me encontré con esto: http://www.mathopenref.com/coordpolygonarea.html. $$ \mathop{área} = \left\lvert\frac{(x_1y_2 y_1x_2) + (x_2y_3 y_2x_3) + \cdots + (x_ny_1 y_nx_1)}{2} \right\rvert $$ donde $x_1,\ldots,x_n$ son las coordenadas $x$ y $y_1,\ldots,y_n$ son las coordenadas $y$ de los vértices. Sí funciona y todo, pero no entiendo completamente por qué funciona.

Hasta donde puedo decir, tomas el área de cada triángulo entre dos puntos. Básicamente repites la fórmula $\frac{1}{2} * h * w$ para cada uno de los triángulos y tomas la suma de ellos. ¿Pero esto no deja un "cuadrado" en el centro del polígono que no se tiene en cuenta? (Aparentemente no, ya que se produce la respuesta correcta pero no puedo entender cómo).

Si alguien pudiera explicarme esto un poco más, estaría agradecido.

Answer 1

Sea $O$ el origen. Denotemos el "área con signo" del triángulo $OAB$: $~~S_{OAB}= \dfrac{1}{2}(x_Ay_B-x_By_A)$.
Se puede derivar del producto cruzado de los vectores $\vec{OA}, \vec{OB}$.

Si el camino $AB$ es $\circlearrowleft$ (si el ángulo polar de $A$ es menor que el ángulo polar de $B$), entonces $S_{OAB}>0$ ;
si el camino $AB$ es $\circlearrowright$ (si el ángulo polar de $A$ es mayor que el ángulo polar de $B$), entonces $S_{OAB}<0

Ahora, para cada arista $A_jA_{j+1}$ ($j=1,2,\ldots,n$; $A_{n+1}\equiv A_1$) de polígono $A_1A_2\ldots A_n$ podemos construir $2$ vectores: $\vec{OA_j}$ y $\vec{OA_{j+1}}$.

Y el "área con signo" del polígono (cuyo signo depende de la dirección de numeración) $$ S_{A_1A_2...A_n} = \sum_{j=1}^n S_{OA_jA_{j+1}} = \sum_{j=1}^n \dfrac{1}{2}(x_jy_{j+1}-x_{j+1}y_j) = \dfrac{1}{2}\sum_{j=1}^n (x_jy_{j+1}-x_{j+1}y_j). $$

Cuando se agregan términos positivos, el área aumentará, cuando son negativos, el área disminuirá.

Marcaremos el área "positiva" en azul y la "negativa" en rojo.

Ilustración:

Answer 2

La fórmula en cuestión se puede explicar mediante la fórmula de Green en el plano.

Sea ${\bf F}=(P,Q)$ un campo de fuerza en el plano, y supongamos que $\Omega$ es un dominio finito con ciclo de frontera $\partial\Omega$. Entonces la fórmula de Green dice que $$\int\nolimits_{\partial B} (P\>dx+Q\>dy)=\int\nolimits_B (Q_x-P_y)\ {\rm d}(x,y)\ .\tag{1}$$ Cuando ${\bf F}=(0,x)$ o ${\bf F}=(-y,0)$ entonces $Q_x-P_y\equiv1$, y el lado derecho de $(1)$ simplemente da el área de $\Omega$. Se deduce que $${\rm area}(\Omega)=\int\nolimits_{\partial B} x\ dy=-\int\nolimits_{\partial B} y\ dx={1\over2}\int\nolimits_{\partial B} (x\> dy-y\>dx)\ ,$$ donde consideraciones prácticas dictan qué versión se debe aplicar en el caso particular en cuestión.

Cuando $\Omega$ es un polígono con $n$ vértices dados en orden cíclico entonces $\partial\Omega$ consiste en $n$ segmentos dirigidos $\sigma_k$. Escribiendo la integral de línea para cada $\sigma_k$ y sumando cíclicamente sobre $k$ se llega a la fórmula dada (o a una de sus equivalentes).