Probar: Secuencias convergentes se limita

Question

No entiendo esta parte en la prueba para las secuencias convergentes son limitadas.

Prueba:

Que $s_n$ ser un convergente secuencia y que $\lim s_n = s$. Entonces tomando el $\epsilon = 1$ tenemos:

$n > N \implies |s_n - s| < 1$

De la desigualdad del triángulo vemos que: $ n > N \implies|s_n| - |s| < 1 \iff |s_n| < |s| + 1$.

Definir $M= \max\{|s|+1, |s_1|, |s_2|, ..., |s_N|\}$. Entonces tenemos $|s_n| \leq M$ % todos $n \in N$.

No entiendo la parte de #% definición de %#%. ¿Por qué no sólo tomar $M$ como el límite, desde $|s| + 1$?

Answer 1

$|s|+1$ es un destino a $a_n$ cuando $n > N$. Queremos un límite que se aplica a todas las $n \in \mathbb{N}$. Para obtener este límite, tomamos el supremum de $|s|+1$ y todos los términos de $|a_n|$ cuando $n \le N$. Puesto que el conjunto de que nos estamos tomando el supremum es finito, estamos garantizamos tener un % de limite finito $M$.

Answer 2

Porque usted quiere estar seguro de el límite es lo suficientemente grande para asegurar que $|s_n|\le M$ % todo $n\in\Bbb N$, no sólo para todos los $n>N$. Tomando el $M\ge|s|+1$ asegura que son de las excepciones sólo posibles a $|s_n|\le M$ $s_1,\dots,s_N$, y tomar $M\ge\max\{|s_1|,\dots,|s_N|\}$ se encarga de estas así.

Answer 3

Vamos a probar la unicidad de la primera. Supongamos que la secuencia tiene dos límites, a y a'. Tomar cualquier > 0. Entonces existe un entero N tal que:

| aj - a | < 

si j > N. También, existe otro número entero N' tal que

| aj - a' | < 

si j > N'. Entonces, por la desigualdad de triángulo:

| a - a' | < | a - aj + aj - a' |
      |aj - a | + | aj - a' |
      < + = 2 

si j > max{N,N'}. Por lo tanto | a - a' | < 2 para cualquier > 0. Pero eso implica que a = a', por lo que el límite es único.

A continuación, vamos a probar acotamiento. Desde la secuencia converge, podemos tomar, por ejemplo, a = 1. Entonces

| aj - a | < 1 

si j > N. Arreglar ese número N. Tenemos que

| aj | | aj - a | + | a | < 1 + |a| 

para todo j > N. Definir

M = max{|a1|, |a2|, ...., |aN|, (1 + |a|)} 

Entonces | aj | < M para todo j, es decir, la secuencia es delimitada como requi