Cómo resolver esta integral: $ \int_{-1}^{1} \frac{x^4}{a^x+1}dx $?

Question

Tengo esto en mi último cálculo 1 examen. Cualquier ayuda con la solución?

$$ \int_{-1}^{1} \frac{x^4}{a^x+1}dx $$

Gracias!

Answer 1

SUGERENCIA:

El uso de $$I=\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$

y $$I+I=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bf(a+b-x)dx=\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx$$

Answer 2

Computación en la parte de el integrando, se obtiene $$\int_{-1}^1 \frac{x^4dx}{a^x+1}=\frac12\int_{-1}^1 \underbrace{\left[\frac{1}{a^x+1}+\frac{1}{a^{-x}+1}\right]}_{=1}x^4dx=\frac{x^5}{10}\biggl|_{-1}^1=\frac15.$$