En Gradshteyn & Ryzhik's Tablas de integrales, series y productos (1996) se afirma sin pruebas que
Si $f$ es un par, $\pi$ -función periódica entonces $$\int_0^\infty f(x)\frac{\sin{x}}{x}\ dx=\int_0^{\pi/2} f(x)\ dx$$ asumiendo que la integral del LHS existe.
Intenté demostrarlo rompiendo la integral sobre $[0,\infty[$ en intervalos de longitud $\pi$ y sumando hasta el infinito pero no pude llegar más allá de encontrar:
$$\int_0^\infty f(x)\frac{\sin{x}}{x}\ dx=\sum_{n=0}^\infty\int_0^\pi f(x)\frac{(-1)^n\sin{x}}{n\pi+x}\ dx$$
lo que no parece demasiado fructífero. Mi instinto me dice que las transformadas de Fourier deberían intervenir en algún momento. ¿Alguien tiene una prueba o un esbozo de una prueba?