Mostrar $ \lim_ {N \to \infty } \sum_ {k=1}^{N} \frac {1}{k+N}= \ln (2)$

Question

Tengo algunas dificultades para probar el siguiente límite: $$ \lim_ {N \to \infty } \sum_ {k=1}^{N} \frac {1}{k+N}= \ln (2)$$ ¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

Pista: Es un Riemann Sum que corresponde a la integral $$ \int_ {0}^1 \frac {1}{1+x} dx,$$ y esto evalúa a $ \ln 2$ .

Answer 2

Una estimación común para la Números armónicos es $$ \sum_ {k=1}^n \frac1k = \log (n)+ \gamma +O \left ( \frac1n\right ) \tag {1} $$ donde $ \gamma $ es el La constante de Euler-Mascheroni .

Aplicando $(1)$ tenemos que $$ \begin {align} \sum_ {k=1}^{N} \frac {1}{k+N} &= \sum_ {k=1}^{2N} \frac1k - \sum_ {k=1}^N \frac1k\\ &= \left ( \log (2N)+ \gamma +O \left ( \frac {1}{2N} \right ) \right )- \left ( \log (N)+ \gamma +O \left ( \frac1N\right ) \right ) \\ &= \log (2)+O \left ( \frac1N\right ) \tag {2} \end {align} $$ Tomando el límite de $(2)$ como $N \to\infty $ rendimientos $$ \lim_ {N \to\infty } \sum_ {k=1}^{N} \frac {1}{k+N}= \log (2) \tag {3} $$

Answer 3

$$f(x)= \lim_ {n \to\infty } \sum \limits_ {k=1}^n \frac {1}{k+ \frac {n}{x}}$$

Usted está buscando $f(1)$

$$f(x)= \lim_ {n \to\infty } \frac {x}{n} \sum \limits_ {k=1}^n \frac {1}{1+ \frac {kx}{n}}= \lim_ {n \to\infty } \frac {x}{n} \sum \limits_ {k=1}^n (1- \frac {kx}{n}+ \frac {k^2x^2}{n^2}- \frac {k^3x^3}{n^3}+....)= \lim_ {n \to\infty } \frac {x}{n} \sum \limits_ {k=1}^n 1 - \lim_ {n \to\infty } \frac {x^2}{n^2} \sum \limits_ {k=1}^n k+ \lim_ {n \to\infty } \frac {x^3}{n^3} \sum \limits_ {k=1}^n k^2- \lim_ {n \to\infty } \frac {x^4}{n^4} \sum \limits_ {k=1}^n k^3+.....$$

$$f(x)= \lim_ {n \to\infty } \frac {x}{n} \sum \limits_ {k=1}^n 1 - \lim_ {n \to\infty } \frac {x^2}{n^2} \sum \limits_ {k=1}^n k+ \lim_ {n \to\infty } \frac {x^3}{n^3} \sum \limits_ {k=1}^n k^2- \lim_ {n \to\infty } \frac {x^4}{n^4} \sum \limits_ {k=1}^n k^3+.....= \lim_ {n \to\infty } \frac {x}{n} n - \lim_ {n \to\infty } \frac {x^2}{n^2} ( \frac {n^2}{2}+ \frac {n}{2})+ \lim_ {n \to\infty } \frac {x^3}{n^3} ( \frac {n^3}{3}+ \frac {n^2}{2}+ \frac {n}{6})- \lim_ {n \to\infty } \frac {x^4}{n^4}( \frac {n^4}{4}+ \frac {n^3}{2}+ \frac {n^2}{4})+....$$

---

$$ \sum \limits_ {k=1}^{n} k^m= \frac {n^{m+1}}{m+1}+a_mn^m+....+a_1n= \frac {n^{m+1}}{m+1}+ \sum \limits_ {j=1}^m a_jn^j$$ donde $a_j$ son constantes. Donde aj son constantes. Más información sobre la suma http://en.wikipedia.org/wiki/Summation

---

Después de resolver los límites. Lo conseguimos:

$$f(x)= \frac {x}{1} - \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3} - \frac {x^4}{4}+ ....= \sum \limits_ {k=1}^{ \infty } (-1)^{k+1} \frac {x^k}{k}= \ln (x+1)$$

$$f(x)= \ln (x+1)$$ $$f(1)= \ln (2)$$