¿Cómo combinar estas ecuaciones de restricción?

Question

Quiero un modelo nonholonomic sistema de arbitrario disco giratorio en 3D, que rueda sin resbalar, y no tener que quedarse en vertical. (piense en hacer girar una moneda en la mesa) quiero usar el método que he aprendido de los multiplicadores de Lagrange con el de Euler-Lagrange las ecuaciones para resolver el sistema.

Me puede parametrizar el sistema en términos de $(x,y,\theta,\phi,\psi)$, y me puede venir para arriba con varias ecuaciones de restricción si dejo que dos (o tres, con $(x,y)$ cambiando un par de variables de cambio en un momento y mantener las otras constantes. Estoy usando mathematica así que puede darse el lujo de tener unweildy representaciones y dolorosa integrales.

Quise $(x,y)$ que representa la posición del centro del disco en el plano horizontal, $\theta$ lo que representa el ángulo de $(x,y)$ a el punto donde el disco toca el suelo, $\phi$ lo que representa el ángulo desde el plano xy a los reales (x,y,z) del centro del disco (por lo tanto, si $\phi=0$ el disco es plano, y si $\phi=\pi/2$ el disco es vertical), y $\psi$ lo que representa el ángulo del disco alrededor del eje normal a la cara. Aparecí en la siguiente transformación lineal, la cual lleva a un punto fijo en el disco del espacio en el espacio: $T(x,y,r \sin(\phi)) R_{xy}(\theta)R_{xz}(-\phi) R_{xy}(\phi) \vec{v}$

(donde $T$ es una traducción, $R_{xy}$ es una rotación en el plano xy, etc)

Este funciona a la perfección y que en realidad puede venir para arriba con la energía cinética en términos de $x,\dot{x}, y,\dot{y},\phi, \dot{\phi}$ etc.

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Así que ahora, donde la nonholomic parte viene, tengo que encontrar las ecuaciones de restricción. La única restricción es la rodadura sin deslizamiento. Puedo encontrar ecuaciones con derivadas parciales (es decir, permitir que x e y varían como puedo cambiar de $\psi$ y mantener todas las demás variables constantes), pero estos son sólo parcial de las restricciones y no representan la verdadera diferenciales que rigen las restricciones. ¿Cómo puedo encontrar la verdad de los diferenciales? Mi conjuntos de ecuaciones son:

1 girar el disco normal a su cara (exactamente igual que el giro de una rueda)

$\frac{\partial x}{\parcial \psi} =-r \sin (\theta ), \frac{ \partial y}{\parcial\psi }=r \cos (\theta )$

2 Rotación $\theta$, el punto donde el disco toca el suelo, sin cambiar x, y, o $\phi$. $psi$ debe cambiar de acuerdo a:

$\frac{\partial\psi}{\partial\theta} =-\cos (\phi )$

3 Cambiar el ángulo vertical de la disco, $\phi$, y tener el punto de contacto de la estancia de la misma (así como $\theta$, $\psi$ constante), $x$ $y$ debe cambiar de acuerdo a:

$\frac{\partial x} {\parcial\phi} =-r \cos (\theta ) \sin (\phi ), \frac{ \partial y} {\parcial\phi} =-r \sin (\theta ) \sin (\phi )$

¿Cómo puedo combinar estas ecuaciones en plena diferenciales para el uso de multiplicadores de Lagrange con el de Euler-Lagrange las ecuaciones?

Animados Visualizaciones

Sólo para mostrar lo que los parámetros significan y lo que la restricción de las ecuaciones de la media en el caso de que haya algo técnicamente incorrecta:

(las animaciones parecen congelar. Si uno no se mueve intentar arrastrarlo a una nueva pestaña)

El ajuste de los parámetros de la transformación de la ecuación:

La aplicación parcial de la restricción 1 para visualizar la rodadura sin deslizamiento

La visualización parcial de la restricción 2

La visualización de restricción 3

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nota: soy bastante nuevo para Lagrangiana de la mecánica, en el capítulo dos de Goldstein de la mecánica clásica, pero no veo una razón por la que no se puede aplicar todo lo que he aprendido (sólo lo he mencionado) a este problema.

Answer 1

La solución es mucho más fácil de lo que yo esperaba. Pensé que el método más simple no iba a funcionar y que no iba a tomar en cuenta ciertas cosas, pero tomar un segundo vistazo veo que funciona.

El punto de contacto con el suelo (mantenerse coherente con la matriz de rotación definición anterior) es: $$\mathbf{v_1}=(x-r \cos(\theta) \cos(\phi),y-r \sin(\theta) \cos(\phi))$$ Un poco de movimiento de un punto no puede ser equiparada a la de una rueda se mueve en la dirección ortogonal a la teta y "hacia delante", de magnitud $r d\psi$: $$d\mathbf{v_2}=(-r\sin(\theta) d\psi,r \cos(\theta) d \psi))$$ Debemos tener $d\mathbf{v_1}=d\mathbf{v_2}$. La expansión de todo lo que da: $$0=r \sin(\theta)d\psi+dx+r \sin(\theta) \cos(\phi) d\theta+r \cos(\theta) \sin(\phi) d\phi$$ $$0=-r \cos(\theta) d \psi +dy-r \cos(\theta) \cos(\phi) d\theta+r \sin(\theta)\sin(\phi)d \phi$$

Con estos puedo aplicar correctamente los métodos de cálculo variacional y conseguir un físico de la solución!

Answer 2

Sus limitaciones parecen compatibles al menos con estas ecuaciones :

$$dx + r \sin \theta~(d\psi + \frac{d\theta}{\cos \phi}) + r \cos \theta \sin \phi ~d \phi = 0$$

$$dy - r \cos \theta~(d\psi + \frac{d\theta}{\cos \phi}) + r \sin \theta \sin \phi ~d \phi = 0$$

Restricción 1 correspondería a $d\theta = d\phi =0$

Restricción 2 correspondería a $dx = dy = d\phi=0$

Restricción 3 correspondería a $d\psi = d\theta =0$

[EDITAR] Debido a la OP comentario, yo propongo una variante de las ecuaciones anteriores, que son :

$$\cos \theta ~dx + \sin \theta ~dy + r \sin \phi ~d\phi = 0$$

$$\sin \theta ~dx - \cos \theta ~dy + r ( d\psi + \frac{d\theta}{\cos \phi}) = 0$$

Las limitaciones de la $1,2,3$ son respetados.

El problemático caso señalado por la OP comentario, de que el es $dx=dy=d\psi=0$, simplemente da aquí : ($d\phi = 0$ o $\sin \phi =0$) y $d\theta=0$ , lo que podría ser vista como limitaciones físicas sobre el sistema.