¿Por qué el valor de rescate del conjunto de Mandelbrot es 2?

Question

Durante los últimos días he estado estudiando el conjunto de Mandelbrot, y muchos dicen que si las iteraciones de un punto se mantienen dentro de una magnitud de 2, el punto converge. Me surgió la pregunta muy natural de "¿por qué el valor de rescate es 2? ¿Existe una prueba de que el valor diverge si las iteraciones no se mantienen dentro del valor de rescate de 2?

Answer 1

En primer lugar, suponga que $|c| \le 2$ . Sea $f(z) = z^2 + c$ y asumir que $|z_n| = 2+a$ , donde $a > 0$ . Entonces $$ |z_{n+1}| =|f(z_n)| = |z_n^2 + c| \ge |z_n|^2 - |c| \ge |z_n|^2 - 2 = (2+a)^2-2 = 2+2a+a^2 > 2+2a. $$ Por inducción $|z_{n+k}| > 2+ak \to \infty$ como $k\to\infty$ Así que $z_n$ escapa al infinito.

Si $|c| > 2$ un análisis similar muestra que $z_n \to \infty$ por lo que ni siquiera tenemos que considerar tales valores de $c$ .