El problema puede ser hecho mediante el cálculo simple.
Inicialmente nadie se toma en C, así que en algún punto a o B se verán afectados. En ese momento, ya sea a y C sobrevivir, B y C sobrevivir, o C solo sobrevive (si a y B son afectados simultáneamente).
A y C sobrevivir. Esto ocurre cuando Una hits B antes de B o C hits A. La probabilidad de que los tres faltar en cualquier curva es $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac56=\frac5{18}$, y la probabilidad de que Un éxitos y los otros dos faltar en cualquier curva también es $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac56=\frac5{18}$, por lo que este evento se produce en el turn $n$ con una probabilidad de $\left(\frac5{18}\right)^n$. La probabilidad de que se produce es, por tanto, $$\sum_{n\ge 1}\left(\frac5{18}\right)^n=\frac{\frac5{18}}{1-\frac5{18}}=\frac5{13}\;.$$
B y C sobrevivir. Esto ocurre cuando B o C hits antes de éxitos B. Como antes, la probabilidad de que los tres faltar en cualquier curva es $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac56=\frac5{18}$. La probabilidad de que ni B ni C hits en una curva es $\frac23\cdot\frac56=\frac59$, por lo que la probabilidad de que Una falla y al menos uno de B y C hits es $\frac12\left(1-\frac59\right)=\frac29$. Este evento por lo tanto se produce en el turn $n$ con una probabilidad de $$\left(\frac5{18}\right)^{n-1}\left(\frac29\right)\;,$$ and the probability that it occurs at all is $$\frac29\sum_{n\ge 1}\left(\frac5{18}\right)^{n-1}=\frac29\sum_{n\ge 0}\left(\frac5{18}\right)^n=\frac{\frac29}{1-\frac5{18}}=\frac4{13}\;.$$
C solo sobrevive. Esto ocurre cuando Una hits B y, en el mismo turno, B o C hits A. Puesto que la probabilidad de que Un éxitos de la $n$ a su vez es la misma que la probabilidad de que Una falla, el cálculo para este caso es idéntica a la del caso anterior, y en este caso, por tanto, se produce con una probabilidad de $\frac4{13}$. (Como alternativa, por supuesto, uno puede simplemente tenga en cuenta que la probabilidad debe ser $1-\frac5{13}-\frac4{13}=\frac4{13}$.)
Ahora, considere el resultado de caso (1). En este punto, a y C están disparando unos a otros. La probabilidad de que ambas faltar en cualquier curva es $\frac12\cdot\frac56=\frac5{12}$, y la probabilidad de que Una hits y C se pierde en cualquier curva es la misma, por lo que se convierte en el único sobreviviente en el turn $n$ con una probabilidad de $\left(\frac5{12}\right)^n$. Debe la batalla alcanzar este caso, entonces, la probabilidad de que Una es el único sobreviviente es
$$\sum_{n\ge 1}\left(\frac5{12}\right)^n=\frac{\frac5{12}}{1-\frac5{12}}=\frac57\;.$$
La probabilidad de que Una falla y C hits en cualquier curva es $\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}$, por lo que la probabilidad de que C se convierte en el único superviviente en el turn $n$$\left(\frac5{12}\right)^{n-1}\left(\frac1{12}\right)$, y la probabilidad general de que C se convierte en el único superviviente, dado que la batalla alcanza este caso, es
$$\frac1{12}\sum_{n\ge 1}\left(\frac5{12}\right)^{n-1}=\frac1{12}\sum_{n\ge 0}\left(\frac5{12}\right)^n=\frac{\frac1{12}}{1-\frac5{12}}=\frac17\;.$$
Finalmente, una vez que este caso se alcanza hay una probabilidad de $1-\frac57-\frac17=\frac17$ que a y C se matan los unos a los otros, sin dejar sobrevivientes.
El análisis para el caso de (2) es totalmente similar. La probabilidad de que B es el único sobreviviente es
$$\left(\frac13\cdot\frac56\right)\sum_{n\ge 1}\left(\frac23\cdot\frac56\right)^{n-1}=\frac{\frac5{18}}{1-\frac59}=\frac58\;,$$
la probabilidad de que C es el único sobreviviente es
$$\left(\frac23\cdot\frac16\right)\sum_{n\ge 1}\left(\frac23\cdot\frac56\right)^{n-1}=\frac{\frac19}{1-\frac59}=\frac14\;,$$
y la probabilidad de que no hay sobrevivientes es $1-\frac58-\frac14=\frac18$.
El total de las probabilidades de supervivencia son, por tanto,
$$\begin{align*}
&\text{A:}\quad\frac5{13}\cdot\frac57=\frac{25}{91}\\\\
&\text{B:}\quad\frac4{13}\cdot\frac58=\frac5{26}\\\\
&\text{C:}\quad\frac5{13}\cdot\frac17+\frac4{13}\cdot\frac14+\frac4{13}=\frac{40}{91}\;.
\end{align*}$$
Como una comprobación rápida, la falta de la $\frac{17}{182}$ debe ser la probabilidad de que ninguno de ellos sobrevive, ya que este es
$$\frac5{13}\cdot\frac17+\frac4{13}\cdot\frac18\;,$$
que es, de hecho,$\frac{17}{182}$.
