coordenadas polares y derivados

Question

¿Usando la notación estándar $(x,y)$ coordenadas Cartesianas, y $(r, \theta)$ de coordenadas polares, es cierto que $$ x = r \cos \theta$ $ y por lo tanto podemos inferir que $$ \frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta.$$ This means that if we perturb $r$ to $r+\Delta r $, $x $ gets perturbed to approximately $x + \cos(\theta) \Delta r$. This is equivalent to saying that if we perturb $x$ to $x+\Delta x $, then we perturb $r $ to approximately $r + (1 / \cos \theta) \Delta x $. Correspondingly, we expect that $% $ $ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{\cos \theta}.$de hecho, $$ \frac{ \partial r}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2+y^2}= \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{r} = \cos \theta.$ $ lo que da?