Esta es la de Ross, el análisis elemental libro. La declaración es si $a,b \in \mathbb{R}$ tal que $a<b$ entonces existe un racional $r \in \mathbb{Q}$ tal que $a<r<b$.
No entiendo una parte importante de la prueba que voy a señalar.
He aquí la prueba:
Desde $b-a>0$, a continuación, por el archimidean de la propiedad existe un número natural llamarlo $n$ tal que $n(b-a)>1$. Ahora debemos demostrar que existe un entero $m$ tal que $an<m<bn$. Por el archimidean de propiedad nuevo, existe un entero $k$ tal que $k>\max(|an|, |bn|)$, de modo que $-k<an<bn<k$. Entonces el conjunto $$\{j \in \mathbb{Z}: {-k<j \leq k}\text{ and }an<j\}$$ is finite and nonempty and we can set $m = \min\{j \in \mathbb{Z}: {-k<j \leq k}\text{ y }<j\}$. Then $de < m$ but $m - 1 \leq un$. Also, we have $m = (m - 1) + 1 \leq an + 1 < an + (bn - an) = bn$.
Comentario: me levanto hasta el punto de que el autor establece$ k$ a ser el número entero que es mayor que el de $an$$bn$. Y desde $a<b$ obtenemos el delimitada la desigualdad $-k<an<bn<k$. A partir de aquí es donde me confundo. Él crea un conjunto $\{j \in \mathbb{Z}: {-k<j \leq k}\text{ and }an<j\}$, lo que él llama finita que veo y no vacío (supongo ya que este conjunto tiene al menos un límite superior $k$, lo que es no vacío). Pero luego de que le permita a $m = \min\{j \in \mathbb{Z}: {-k<j \leq k}\text{ and }an<j\}$ que sigue a $an<m$ pero $m - 1 \leq an$. No entiendo cómo el autor llega a ese punto?
