un problema en la función holomorfa no constante tiene un cero o no en el disco unidad cerrada

Question

Deje $f:D \to \mathbb{C}$ ser un no-constante holomorphic función de ($D$ es el cierre de la unidad de disco) de forma tal que $|f(z)|=1$ todos los $z$ satisfacción $|z|=1$ . A continuación, demostrar que no existe $z_0 \in D$ tal que $f(z_0)=0$

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Mi pensamiento:-
Por Máximo Módulo Teorema $|f(z)|$ tiene valor Máximo en la curva de $1$.

Por Mínimo Módulo Teorema si $f(z)\ne0$ todos los $z\in D$, entonces se tiene su valor mínimo en el límite de lo que es $1$.

A continuación, $|f(z)|=1$ todos los $z\in D$.

Por lo tanto $|f(z)|$ es constante, lo cual es una contradicción.

Es mi pensamiento correcto?

Answer 1

Supongamos que $f(z)\ne 0\in D\forall z$, $g(z)={1\over f(z)}$ es holomorfa en $D$ y $|g(z)|=1$ $|z|=1$ y por MMP $|g(z)|$ alcanza máximos $1$ $|z|=1$ % que $|g(z)| \le 1\forall z \in D$pero entonces $|f(z)|>1 \Leftrightarrow$

Answer 2

Módulo máximo teorema $|f(z)|$ tiene valor máximo en la curva de $1$. por Teorema de módulo mínimo si $f(z)\ne0$ % todo $z\in D$entonces tiene su valor mínimo en el límite que es $1$. Entonces $|f(z)|=1$ % todos $z\in D$. Entonces $|f(z)|$ es constante. Por lo tanto, $f(z)$ se convierte en constante que da una contradicción.