Manera más fácil de mostrar $\cos(20^\circ)\cos(30^\circ)\cos(40^\circ)=\cos^2(10^\circ)\cos(50^\circ)$

Question

La única manera en que puedo mostrar $$\cos(20^\circ)\cos(30^\circ)\cos(40^\circ)=\cos^2(10^\circ)\cos(50^\circ)$$ apesta a sudor y fuerza bruta:

Si $\cos(10^\circ)=x$ uso de $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ $\cos^2 + \sin^2 = 1$ consigue $$ \cos(20^\circ) = 2x^2-1\\ \cos(30^\circ) = 4x^3-3x \\ \cos(40^\circ) = 8x^4-8x^2+1\\ \cos(80^\circ) = 128x^8-256x^6+160x^4-32 x^2+1 $$ Entonces $$ \sin(10^\circ) = 128x^8-256x^6+160x^4-32 x^2+1 $$ y el uso de $\sin (a+b) = \sin(a) \cos(b) + \cos a \sin b$ $\sin(30^\circ)=\frac12$ consigue $$ \sin(20^\circ)= 256x^9 -512x^7+320x^5-64x^3+2x \\ \cos(50^\circ)=(2x^2-1)(4x^x-3x) - \frac12(256x^9 -512x^7+320x^5-64x^3+2x)\\ \cos(50^\circ) = -128x^9+256x^7-152 x^5+22 x^3+2x $$ Ahora que tenemos todos los valores de los cosenos, tenemos que probar que $$ (2x^2-1)(4x^x-3x)(8x^4-8x^2+1)=x^2(-128x^9+256x^7-152 x^5+22 x^3+2x)\\ 64x^9-144x^7+112x^5-34x^3+3x=-128x^{11}+256x^9-152 x^7+22 x^5+2x^3 $$ La herramienta que tenemos es que el$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, por lo que $$x^3=\frac{\sqrt{3}/2+3x}{4} $$ Ahora tenemos que usar que reemplazar el mayor poder de $x$ 2 potencias inferiores; por ejemplo, el uso de $$x^{11} = \frac{3x^9}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8}x^8$$ Tuve que hacer este truco de reemplazo de trece veces (siete en la parte derecha y seis a la izquierda) antes de que yo llegara a $$ -x^3 + \frac{\sqrt{3}x^2}{2} + \frac{3x}{4} = -x^3 + \frac{\sqrt{3}x^2}{2} + \frac{3x}{4} $$ Y llegamos a la pregunta original-no ha conseguido ser una manera más fácil para mostrar esto!

Answer 1

Usando grados como una unidad, $$ \cos(20)\cos(30) = \frac{1}{2}\left(\cos(50)+\cos(10)\right)$ $ y multiplicando ambos lados por $\cos(40)$: $$ \cos(20)\cos(30)\cos(40) = \frac{1}{4}\left(\cos(90)+\cos(10)+\cos(50)+\cos(30)\right). $ $ mientras que el mismo enfoque conduce a: %#% $ #% por lo que es suficiente para demostrar que: %#% $ #% que $$ \cos(10)\cos(10)\cos(50) = \frac{1}{4}\left(\cos(70)+2\cos(50)+\cos(30)\right)$.

Answer 2

Tal vez multiplicar ambos lados por $\sin\left(20^{\circ}\right)$, así que\begin{align*} \text{LHS}= & \sin\left(20^{\circ}\right)\cos(20^{\circ})\cos(30^{\circ})\cos(40^{\circ})\\ = & \frac{1}{2}\sin\left(40^{\circ}\right)\cos(30^{\circ})\cos(40^{\circ})\\ = & \frac{1}{4}\sin\left(80^{\circ}\right)\cos(30^{\circ})\\ = & \frac{\sqrt{3}}{8}\cos\left(10^{\circ}\right), \end{align*} y \begin{align*} \text{RHS} & =\left(\sin\left(20^{\circ}\right)\cos(10^{\circ})\cos(50^{\circ})\right)\cos(10^{\circ})\\ & =\frac{1}{2}\sin\left(20^{\circ}\right)\left(\cos(40^{\circ})+\frac{1}{2}\right)\cos(10^{\circ})\\ & =\left(\frac{1}{4}\left(\sin\left(60^{\circ}\right)-\sin(20^{\circ})\right)+\frac{1}{4}\sin\left(20^{\circ}\right)\right)\cos(10^{\circ})\\ & =\frac{\sqrt{3}}{8}\cos\left(10^{\circ}\right). \end{align*}

Answer 3

Puedo ha engañado, pero lo que sea... va a pedir prestado una identidad para un segundo...

$$\text{if } \alpha+\beta+\gamma = 180 \text{ then } \frac{\sin(2\alpha) + \sin(2\beta) + \sin(2\gamma)} 2 = 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$$

$$\cos(20)\cos(30)\cos(40)=\sin(70)\sin(60)\sin(50)$$

Curiosamente, esto significa

$$\cos(20)\cos(30)\cos(40)=\frac{\sin(140)+\sin(120)+\sin(100)}4$$

$$\implies\sin(140)+\sin(120)+\sin(100)=4\cos^2(10)\cos(50)$$

Estoy no estoy seguro donde tuvimos voy a partir de ahí, posiblemente trate de poner el lado derecho en un formulario donde podemos aplicar la identidad?

Answer 4

$$\cos10^\circ=\sin80^\circ=2\sin40^\circ\cos40^\circ=2(2\sin20^\circ\cos20^\circ)\cos40^\circ$$

Por lo tanto, el problema se reduce a $$\cos30^\circ=4\cos10^\circ\sin20^\circ\cos50^\circ$ $

Ahora uso demostrar que: cosx.cos(x-60).cos(x+60) = cos3x (1/4)

Answer 5

Hay un formal, puramente multiplicativo de la prueba.

Toda la información necesaria es:

• $\cos(20) \cos(40) \cos(80)$ $\sin(20) \sin(40) \sin(80)$ tienen valores conocidos (de hecho, sólo necesitamos el producto de $\tan(20) \tan(40)\tan(80)$)
• $\cos (30)$ es conocida
• identidades básicas $\sin(x) = \cos(90 - x)$ $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$

Multiplicar la supuesta fórmula por $\cos 80 = \sin 10$ , utilizando ( ) para representar cantidades conocidas.

c20 c30 c40 c80 ?= s10 c10 c10 c50

(c20 c40 c80) (c30) ?= s10 c10 c10 c50

(c20 c40 c80) (c30) ?= s10 c10 s80 s40

(c20 c40 c80) (c30) ?= (s20 s40 s80) / 2

lo cual es cierto en el conocimiento de los valores de la (20 40 80) de los productos. La identidad es equivalente al producto $\tan(20) \tan(40) \tan(80) = \sqrt{3}$, y no necesitas separar el conocimiento del seno y coseno de los productos.

Hasta que una mejor referencia viene a lo largo de la 20-40-80 productos, aquí es una mal llamada uno, http://en.wikipedia.org/wiki/Morrie%27s_law