¿Cómo mostrar que $f(x) = x^2$ es continua definición topológica?

Question

Estoy tratando de mostrar que simples funciones continuas satisfacer topológica de la definición de continuidad

Recordemos determinado $(X, \mathcal{T}), (Y, \mathcal{J}), f$ es continua si $f^{-1}(V) \in \mathcal{T}, \forall V \in \mathcal{J}$

Luego se le da $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ equipado con la topología usual $\mathcal{T}$, queremos mostrar que $f(x) = x^2$ es continua $\Leftrightarrow$ muestran que $f^{-1}(V)$ está abierto a $\forall V \in \mathcal{T}$

---

Intento:

Dado $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$

Por $\epsilon-\delta$ definición de continuidad, sabemos que $\forall x \in \mathbb{R}, \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$, de tal manera que $\forall x_o \in \mathbb{R}$ siempre $x \in \mathcal{B}_{\delta}(x_o) \implies f(x) \in \mathcal{B}_{\epsilon}(f(x_o))$

Luego se le da $x_o \in \mathbb{R}, \epsilon >0$, vamos a $V = \mathcal{B}_{\epsilon}(f(x_o))$. A continuación, $x \in f^{-1}(V) = f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x_o)))$

Sin embargo, desde la $f$ satisface $\epsilon-\delta$ versión de continuidad, $\exists \delta >0$ tal que $x \in \mathcal{B}_{\delta}(x_o) \subseteq f^{-1}(V) = f^{-1}(\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x_o)))$. Esta muestra $f^{-1}(V)$ está abierto por definición de conjunto abierto en $\mathbb{R}$.

Final de la prueba.

---

¿alguien puede comprobar si esto es correcto? mi principal preocupación es que no todos los $V$ es de la forma $\mathcal{B}_{\epsilon}(f(x_o))$...

Answer 1

Abrir los intervalos de $(a,b), a < b$ formar una base para la topología de $\mathbb{R}$.

¿Qué es $f^{-1}[(a,b)] = \left\{x \in \mathbb{R}: x^2 \in (a,b) \right\}$?

Si $b \le 0$, entonces no hay plaza se encuentra en $(a,b)$ entonces $f^{-1}[(a,b)] = \emptyset$, que es abierto. Así que supongamos $b > 0$. A continuación, $x^2 < b$ fib $x \in (-\sqrt{b},\sqrt{b})$. Si $a < 0$, $a$ no impone una condición adicional, como todos los $x^2 \ge 0 > a$ en ese caso, por lo que

$f^{-1}[(a,b)] = (-\sqrt{b},\sqrt{b})$ si $b > 0, a < 0$, que es un intervalo abierto en $\mathbb{R}$ tan abierto.

De lo contrario, también necesitamos $x^2 > a \ge 0$, lo $x < -\sqrt{a}$ o $x > \sqrt{a}$ respectivamente.

Así que, a continuación, $f^{-1}[(a,b)] = (-\sqrt{b}, -\sqrt{a}) \cup (\sqrt{a},\sqrt{b})$ si $b > a \ge 0$, que se abre como la unión de dos intervalos abiertos.

Esto cubre todos los casos, por lo $f^{-1}[(a,b)]$ está abierto para todos los intervalos.

Ahora si $O$ está abierto, se puede escribir $O = \bigcup_{i \in I} (a_i,b_i)$, para algunos de la familia de intervalos abiertos $(a_i,b_i), i \in I$, como los intervalos de formar una base. Pero, a continuación,

$$f^{-1}[O] = f^{-1}[\bigcup_{i \in I} (a_i,b_i)] = \bigcup_{i \in I} f^{-1}[(a_i,b_i)]$$

por las propiedades estándar de $f^{-1}$ y el último conjunto es abierto, ya que los sindicatos de abrir los conjuntos son abiertos, y nos han demostrado que el inverso de imágenes de la base de conjuntos abiertos.

Answer 2

En el topológica de la prueba que usted necesita para comenzar con un conjunto abierto $V\in\cal J$, y muestran que la $f^{-1}(V)\in\cal T$.

Desde $f(x):=x^2$ no es surjective, usted necesita considerar por separado el caso de que $V$ no cumple con el intervalo de $[0,\infty)$, es decir, considerar el caso de $f^{-1}(V)$ está vacía. Pero el conjunto vacío está abierto en $(X,{\cal T})$, por lo que el requisito de que $f^{-1}(V)\in\cal T$ está satisfecho.

En el otro caso, existe una $x_0$ tal que $f(x_0)\in V$. Entonces, desde el $V$ es abierto, existe $\epsilon>0$ tal que $ B_\epsilon(f(x_0))\subset V$, y usted puede continuar con su prueba con este valor de $\epsilon$.

Answer 3

Estás en lo correcto en su evaluación de que la prueba no es del todo correcta. Como dices, no todos los $V$ están abiertas las bolas de modo que usted no ha demostrado que la definición es satisfecha por todos los $V$. Esto se puede solucionar de dos maneras.

1. Utilizar el mismo argumento, pero hacerlo pointwise, como se hizo en la respuesta a esta pregunta: Demostrar $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad implica que el conjunto abierto de la definición de función real
2. Sostienen que cualquier conjunto abierto es la unión de abrir las bolas y que si el teorema es cierto para abrir las bolas entonces debe ser cierto arbitraria de los sindicatos. Esto debe ser verdad por la definición de una topología.

Answer 4

Basta para considerar bolas abiertas como cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R}$ puede expresarse como Unión de una colección contable de bolas abiertas.