¿Qué preguntas hacerse responsable/computable dada un conjunto de innumerables caracteres?

Question

Habiendo llegado a la conclusión de parte de mi primer curso de análisis real, un sujeto que siento que no fue abordado adecuadamente la cuestión de cardinalidades.

Este es un tema que me interesaba antes de tomar este curso, en particular en algunos de los aspectos más extraños y las implicaciones de la teoría de conjuntos y incomputable números. Aunque yo personalmente filosóficamente la cuestión de la validez de la reivindicación de la existencia de algo que no se puede escribir, entiendo formalmente los argumentos que conducen a la conclusión de que hay más números reales que no son programas de ordenador; es decir, puedo traducir cada una de las posibles longitud finita de cadena de un número finito de selección de caracteres en un número entero y, a continuación, muestran que no hay un bijection de los enteros a los reales).

Mi pregunta aquí es si estamos tan limitados en lo que podemos escribir como se suele suponer, a saber: esta prueba se supone que hay un número finito de caracteres. Pero es esto verdad? Dado un pedazo de papel y un lápiz, realmente hay sólo un número finito de maneras de organizar las moléculas de tinta en el papel para crear un personajes? (Desde mi comprensión de la mecánica cuántica, las moléculas no están limitados en los arreglos posibles en la posición del espacio, sino que limita la precisión con la que puede saber una partícula del estado en la posición de impulso espacio, aunque este es además el punto).

Si hay, de hecho, un incontable número de caracteres que podemos escribir en un papel, hace que esto sea cada número real computable? Podemos hacer que los compiladores que podría manejar esto, o violar alguna parte de la definición de una Máquina de Turing (con el que estoy es cierto que sólo vagamente familiar).

He intentado una rápida búsqueda en google de esta idea, y no parecía haber nada, así que tengo curiosidad de saber si esta ha sido explorado. Me gustaría por lo menos puede ser muy curioso para aprender acerca de las teorías de la computación, bajo la suposición de que podemos escribir programas utilizando un incontable, o mayor, número de caracteres, y la forma en que podría funcionar.

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Yo no sé acerca de tu primera pregunta, aunque parece seguro decir que hay sólo un número finito de caracteres que se pueden distinguir por los ojos humanos a 1 metro. Del mismo modo, para cualquier máquina en particular podemos construir, creo que sólo sería capaz de distinguir entre un número finito de caracteres escritos, por ejemplo, una célula de 1cm por 1cm. Si pensamos en personajes como subconjuntos cerrados de la unidad cuadrada, entonces el espacio de caracteres es compacto en la métrica de Hausdorff. Por lo tanto, dado cualquier conjunto infinito de personajes, algunos par de ellos será "muy cerca" en la métrica de Hausdorff y por lo tanto (creo) prácticamente indistinguibles.

La definición de una máquina de Turing no tiene nada que ver con el papel, y con independencia de la respuesta a la primera pregunta, el espacio de estado y del alfabeto de una máquina de Turing son tanto finito por definición. Se podría generalizar la definición de una máquina de Turing para permitir innumerables estado de los espacios y alfabetos, pero no creo que el estudio de tales generalizado de máquinas de Turing sería parecen mucho intuitiva nociones de "cálculo" por la razón indicada anteriormente.

Answer 2

Si se sigue esa línea de pensamiento, no es necesario ningún cálculo para representar a los números reales, usted puede hacer un par de líneas denotan su distancia (en algunas unidades). (Si usted no quiere ser restringido por el tamaño de papel, puede asignar $(0,1)$$\mathbb R$.)

La convencional de la teoría de la computabilidad se desarrolla con la práctica de restricciones sobre los alfabetos en mente. Ciertamente, nada le impide el desarrollo de una teoría de la computabilidad en el que la cardinalidad del alfabeto es la de $\mathbb R$. Entonces, usted puede pedir por ejemplo que con un valor real de las funciones son definibles en que el alfabeto. O usted podría permitir la totalidad de las gráficas de funciones con valores a ser utilizados en el alfabeto, y, a continuación, usted podría pedir que la más complicada de objetos, tales como funcionales de tales funciones, son definibles.

Answer 3

Tenga en cuenta que esta pregunta es tanto acerca de la física y la ingeniería como es acerca de las matemáticas!

Es una física pregunta porque estamos preocupados por el "mundo real", y qué modelos matemáticos que corresponden adecuadamente a ella. por ejemplo, la matriz de punto del modelo se rompe cuando se parte de la consideración escalas de longitud alrededor del tamaño de una molécula de tinta o más pequeños.

Es una ingeniería pregunta, porque estamos preocupados con máquinas realmente capaz de imprimir caracteres, y la capacidad para distinguir entre los diferentes personajes.

Y, a continuación, una vez que hemos descripciones adecuadas de estos, se puede considerar que la matemática pregunta de cuántas cosas se pueden imprimir, o incluso excavar en los más sutiles temas tales como el tratamiento de la posibilidad de que diferentes personajes pueden no ser completamente distinguibles el uno del otro.