Demostrando que #% el %#% y $\mathbb{Z}[x]$ no son isomorfos.

Question

Estoy tratando de demostrar que $\mathbb{Z}[x]$ $\mathbb{Q}[x]$ no son isomorfos. Yo estaba pensando en argumentando lo siguiente:

Supongamos que existe un isomorfismo $\varphi: \mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Q}[x]$. Porque isomorphisms son, por definición, surjective, no existe $x, y \in\mathbb{Z}[x]$ tal que $\varphi(x) = c \in \mathbb{Q}[x]$ $\varphi(y) = d \in \mathbb{Q}[x]$ cualquier $c, d\in\mathbb{Q}[x]$. Debido a $\varphi$ es un isomorfismo debemos tener $\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y)$ todos los $x, y \in \mathbb{Z}[x]$. A saber, porque polinomio además se definen las componentes, debemos tener que el término constante de $\varphi(a + b) = c_{0} + d_{0}$ (donde $c_{0}, d_{0}$ son los términos constantes de $c$ $d$ respectivamente. Me gustaría a continuación, sostienen que debido a $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ son no isomorfos como aditivo grupos, no hay tal isomorfismo $\varphi$ existe. Esta es una prueba válida?

He visto las pruebas que sostienen que debido a $\varphi(1) = 1$ para cualquier homomorphism tenemos $1 = \varphi(2(1/2)) = 2(\varphi(1/2))$ $\varphi(1/2)$ debe estar contenido en $\mathbb{Z}[x]^{\times}$. Entonces, debido a $\mathbb{Z}[x]^{\times} = \mathbb{Z}^{\times} = \{\pm1\}$ tenemos $2 \times \pm1 \neq1$, una contradicción. Es esto diferente de los argumentando que $\mathbb{Z}[x]$ $\mathbb{Q}[x]$ cada uno tiene un número diferente de unidades?

Answer 1

$\mathbb{Z}[x]^{\times}=\{\pm 1\}$ and $\mathbb{Q}[x]^{\times}=\mathbb{Q}^{\times}$. Esto es porque $R[x]^{\times}=R^{\times}$ % dominios integral $R$.

Answer 2

Aunque he no tiempo de leer la prueba, se puede utilizar como alternativa desde $\mathbb{Q}$ es un campo, $\mathbb{Q}[x]$ es un dominio ideal principal, mientras que en $\mathbb{Z}[x]$ el % ideal $(2,x)$es un ejemplo de un ideal que no es principal.

Answer 3

$2$ es invertible en a$\mathbb{Q}[x]$, pero no en $\mathbb{Z}[x]$.

Por cierto, esto sugiere la siguiente salvamento de lhf ahora eliminado respuesta: asociado a cualquier sub-anillo $R$ de un anillo de $S$ es su "inversa de cierre" (no sé si hay notación estándar para esto), dada por la menor sub-anillo de $S$ contiene $R$ y los inversos de cada elemento de $R$$S$. Dado cualquier anillo, se puede considerar que la inversa de cierre de su primer sub-anillo, que es el más pequeño de los inverso-sub-anillo cerrado. El inverso de cierre de la primer sub-anillo de $\mathbb{Z}[x]$$\mathbb{Z}$, mientras que la inversa de cierre de la primer sub-anillo de $\mathbb{Q}[x]$$\mathbb{Q}$.

Answer 4

El Grupo abeliano subyacente $\mathbb Q[Z]$ es divisible mientras que $\mathbb Z[X]$ no es, por lo que no son isomorfos como grupos abelianos.