Deje $P(x)$ $k$- grado del polinomio con con no-cero gratis coeficiente. Probar que si para la matriz $A$, $P(A)$=0, a continuación, $A$ es invertible y $A^{-1}$ $k-1$ grado $A$ polinomio.
Aquí está mi prueba, me gustaría saber si eso está bien:
Deje $P(x)$ definir: $P(x)=a_1x+a_2x^2+ \dots +a_kx^k+a_{k+1}$. Sabemos $P(A)=0$, por lo que:
$$P(A)=a_1A+a_2A^2+\dots +a_kA^k+a_{k+1}=0$$ $$A(a_1+a_2A+ \dots +a_kA^{k-1})=-a_{k+1}$$
$-a_{k+1}I=-a_{k+1}$, así:
$$A(a_1+a_2A+ \dots +a_kA^{k-1})=-a_{k+1}I$$ $$A{(a_1+a_2A+ \dots+a_kA^{k-1})\over -a_{k+1}}=I.$$
Permite definir: $A^{-1}={(a_1+a_2A+\dots +a_kA^{k-1})\over -a_{k+1}}$, y entonces nos encontramos con que $AA^{-1}=I$. Por lo tanto $A$ es invertible, y podemos ver $A^{-1}$ $k-1$ grado del polinomio. QED
Es esto una prueba válida? Gracias de antemano. [Traducido de otro idioma]
