Cómo expresar el conjunto de números naturales en ZFC

Question

Sé que es posible representar cada número natural utilizando el concepto de sucesor. Pero, ¿cómo asignan significados en la representación? Es decir, cuando se presentó como un conjunto, es sólo un conjunto si no estamos de acuerdo en algunos definición que alguna forma de conjuntos de números naturales. ¿O es algo imposible en ZFC?

Gracias.

Answer 1

Estoy volviendo a mi comentario en una respuesta. La mejor manera que conozco para la salida de el conjunto $\{0,1,2,\dots \}$ a la construcción teórica va como sigue : $$ 0 = \varnothing, 1 = \{\varnothing, 0\}, 2 = \{\varnothing, 0, 1\}, 3 = \{\varnothing, 0, 1,2\}, \dots, \mathrm{sucesor}(n) = n \cup \{n\}. $$ En otras palabras, para crear el entero positivo $n$, se considera el "set que contiene el conjunto que contiene al conjunto que $\dots$ que contiene $\varnothing$ + el conjunto que contiene al conjunto que $\dots$",y así sucesivamente. De nuevo en otras palabras, el entero $n$ es la unión de los conjuntos que contiene $\varnothing$ $i$ niveles de profundidad, $i$ desde $0$ $n-1$(Todo esto es sólo en términos familiares).

Esta construcción también puede ser utilizado para inductivamente definir, además de : $$ n+0 = n, \quad n + 1 \desbordado{def}= \mathrm{sucesor}(n),\quad n+2 \desbordado{def}= \mathrm{sucesor}(\mathrm{sucesor}(n)), \quad \dots \quad n+(m+1) \desbordado{def}= (n+m)+1. $$ Tratar de entender lo que exactamente dijo en la última definición.

También puede definir la multiplicación usando esta definición : $$ n \cdot 0 \desbordado{def}= 0, \quad n \cdot (m+1) \desbordado{def}= (n \cdot m) + n $$ Es un ejercicio para demostrar que esas definiciones tienen todas las propiedades que hemos conocido a través de los enteros positivos : la asociatividad, conmutatividad, etc.

Espero que ayude,

Answer 2

En la teoría de conjuntos ZFC todo es un conjunto. No hay elementos de ajuste. De hecho, puede haber varias interpretaciones de los números naturales en un determinado modelo de ZFC.

Además, si usted construye un modelo de los números naturales y la utilizó para generar los números complejos se pueden identificar los números naturales como el canónicamente la incrustación de los números naturales que hay, y por supuesto, estos serían los diferentes conjuntos.

Es común tomar el finito von Neumann ordinales los números naturales. Sin embargo, incluso si tomamos en diferentes conjuntos, ya que la adición y la multiplicación no es una parte del lenguaje de la teoría de conjuntos definimos dentro del modelo. También podemos definir de manera diferente (de nuevo, según la interpretación de los números).

Lo importante es que la representación va a satisfacer ciertos axiomas, y los binarios de las operaciones de la adición y la multiplicación.