Fórmula cuadrática - Compruebe mi simplificaiton

Question

Estoy tratando de resolver esta ecuación utilizando la fórmula cuadrática:

$$x^2 + 4x -1 = 0$$

Empiezo sustituyendo los valores en la fórmula cuadrática:

$$x = {-(4) \pm \sqrt {(4)^2 - 4(1)(-1)} \over 2}$$

que se convierte en

$$x = {-4 \pm \sqrt{20} \over 2}$$

Esta es la respuesta que el libro de texto que estoy usando da pero yo habría pensado que yo podría haber simplificado esta más a:

$$x = {-4 \pm \sqrt {(5)(2)(2)} \over 2}$$

que se convierte en

$$x = {-4 \pm 2 \sqrt 5 \over 2}$$

que se convierte en

$$x = -2 \pm \sqrt 5$$

Yo estoy en lo correcto y si es así, ¿por qué el libro de texto no han simplificado aún más?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac{B+C}{A}=\frac{B}{A}+\frac{C}{A}$$

---

$$x=\frac{-4\pm 2\sqrt{5}}{2}=\frac{-4}{2}\pm\frac{2\sqrt{5}}{2}=-2\pm\sqrt{5}.$$

Answer 2

La clásica fórmula de la ecuación cuadrática es

$$ax^2+bx+c=0\iff x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Pero hay muchas circunstancias donde el coeficiente cuadrático es $1$ y el primer grado coeficiente tiene un factor explícito $2$, y vale la pena recordar la simplificada fórmula $$x^2+2bx+c=0\iff x=-b\pm\sqrt{b^2-c}.$ $

---

En su caso, $$x=-2\pm\sqrt{2^2-(-1)}.$ $

Answer 3

Nota en este caso usando la fórmula cuadrática es tonto, ya que es tan fácil completar el cuadrado (de donde proviene la fórmula quádica):$$ x^2+4x-1=(x+2)^2-4-1=0\iff (x+2)^2=5\iff x=-2\pm\sqrt 5.$ $

Answer 4

Las personas a menudo tienen problemas para verificar sus respuestas, si no son exactamente de la misma forma.

Mediante la presentación de la respuesta en la forma

$$ x = {-4 \pm \sqrt{20} \over 2} $$

los estudiantes que tienen por lo menos aplica la fórmula cuadrática correctamente no tendrá problemas para comprobar el resultado. También, viendo el resultado en esta forma podría ayudar a alguien que está teniendo problemas para reconocer qué hacer.

Los estudiantes que van a simplificar este son probablemente capaces de comprobar su respuesta.

Por supuesto, estoy especulando en cuanto a la motivación de los libros de texto de los autores. Y no tengo la intención de estar de acuerdo o en desacuerdo con la premisa de que la respuesta debería haber sido dado como $x = -2 \pm \sqrt{5}$.

Answer 5

Me corrija si estoy equivocado, pero no creo que usted se está preguntando cómo los autores obtuvo de

$x = {-4 \pm \sqrt {(5)(2)(2)} \over 2}$

a

$x = -2 \pm \sqrt 5$

(si es así, mathlove contestado ya a eso).

Pero en lugar de ello (o al menos yo personalmente me pregunto) ¿por qué los autores comienzan con $x = {-4 \pm \sqrt {(5)(2)(2)} \over 2}$ en el primer lugar.

Obviamente ellos quieren reducir. Sin embargo, lo que usted hizo es mucho más sencillo. Tal vez si lo hizo de esta manera sería más fácil de entender:

$x = {-4 \pm \sqrt{20} \over 2}$

primera distribuir:

$x = {-4 \over 2} \pm {\sqrt{20} \over 2}$

$x = -2 \pm {\sqrt{20} \over 2}$

ahora el factor de lo que está debajo de la raíz cuadrada, si es posible, en uno o más factores que son una completa cuadrados, por lo que la plaza puede ser llevado a cabo. La única completa de la plaza entre los factores de 20 es 4, así:

$x = -2 \pm {\sqrt{(4)(5)} \over 2}$

$x = -2 \pm {2 \sqrt{5} \over 2}$

$2 \over 2$ cancela, así que ...

$x = -2 \pm \sqrt{5}$

espero que ayude.