diferencia entre

Question

Deje $M$ ser suave, un colector y $\mathfrak{X}(M)$ el verdadero espacio vectorial consta de campos vectoriales sobre $M$. Deje $TM\boxtimes TM$ ser el vector paquete de más de $M\times M$ cuya fibra,$(x,y)\in M\times M$$T_xM\otimes T_yM$. Por último, vamos a $\Gamma(TM\boxtimes TM)$ denotar las secciones de este vector paquete.

¿Hay alguna diferencia esencial entre el producto tensor de bienes espacios vectoriales $\mathfrak{X}(M)\otimes_{\mathbb{R}}\mathfrak{X}(M)$ y el verdadero espacio vectorial $\Gamma(TM\boxtimes TM)$?

Parece ser que hay una bien definida $\mathbb{R}$-lineal mapa de $\phi:\mathfrak{X}(M)\otimes_{\mathbb{R}}\mathfrak{X}(M)\rightarrow \Gamma(TM\boxtimes TM)$$\phi(\sum_k X_k\otimes Y_k)(x,y)=\sum_k X_k(x)\otimes Y_k(y)$. Siempre que el paquete de $TM\boxtimes TM$ es paracompact y puede ser cubierto por un número finito de paquete de cuadros, creo que se puede utilizar una partición de la unidad para mostrar que $\phi$ es surjective. Estoy teniendo un poco de problemas para demostrar que es inyectiva, aunque. Yo también puedo pensar en un no-trivial elemento de $\mathfrak{X}(M)\otimes_{\mathbb{R}}\mathfrak{X}(M)$ que se asignan a la sección cero.

Answer 1

Deje $M=\def\RR{\mathbb R}\RR$. Deje $\def\X{\mathfrak X}\X(M)$ ser el vector del espacio de la tangente campos a $M$, y deje $\partial\in\X(M)$ ser cualquier vector de campo, que nunca es cero, por lo que el $\{\partial\}$ $C^\infty(M)$- base de la $C^\infty(M)$-módulo de $\X(M)$, y el mapa de $$\alpha:f\in C^\infty(M)\mapsto f\partial\in\X(M)$$ es un isomorfismo.

El paquete de $TM$ es un trivial de la línea de paquete en la $M$. De ello se desprende que $TM\boxtimes TM$ también es un trivial de la línea de paquete en la $M\times M$. Podemos ver $\partial$ sección $M\to TM$, lo que genera en cada punto de $TM$, y, a continuación, $(p,q)\in M\times M\mapsto\partial_p\otimes\partial_q\in (TM\boxtimes TM)_{(p,q)}$ es una sección de $TM\boxtimes TM$, lo que genera en cada punto, llamémoslo $D$. De ello se desprende que $$\beta:f\in C^{\infty}(M\times M)\mapsto fD\in\Gamma(TM\boxtimes TM)$$ es un espacio vectorial isomorfismo.

Ahora el mapa $\X(M)\otimes_\RR\X(M)\to\Gamma(TM\otimes TM)$ puede ser conjugado por los mapas $\alpha$ $\beta$ a hacer un mapa de $$C^\infty(M)\otimes_\RR C^\infty(M)\to C^\infty(M\times M).$$

Hacer explícito y ver que no es un isomorfismo.

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El problema de decidir cuándo una función es en la imagen del mapa de arriba es muy clásica. Aquí es una condición necesaria: supongamos $h(x,y)=\sum_{\ell=1}^nf_i(x)g_i(y)$ puede ser escrita como una suma de $n$ productos de descomponible funciones. Entonces el determinante de a $$\mathcal W_n(h)=\det\left(\frac{\partial^{i+j}h}{\partial x^i\partial y^j}\right)_{i,j=0,\dots,n}$$ se desvanece. Este determinante se llama Wronksian, si recuerdo correctamente (aunque no es el mismo que el Wronskian que uno encuentra en el contexto de la linealidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias -se relaciona, por supuesto)

Ahora, un poco de trabajo se mostrará que la $\mathcal W_n(\exp(xy))\neq0$ todos los $n\geq1$, por lo que el $\exp(xy)$ no está en la imagen de nuestro mapa. (De hecho, $\mathcal W_n(\exp(xy))$ $\exp((n+1)xy)$ multiplicado por el determinante de Vandermonde $1$, $2$, $\dots$, $n+1$.)