¿Cómo único (en no único) son U y V en Decomposición de Valor Singular (SVD)?

Question

Según Wikipedia, "una convención común es listar los valores singulares en orden descendente. En este caso, la matriz diagonal$\Sigma$ está determinada únicamente por$M$ (aunque las matrices$U$ y$V$ no son)"

Mi pregunta es, ¿están$U$ y$V$ exclusivamente determinados hasta alguna relación de equivalencia (y qué relación de equivalencia)?

Answer 1

Deje $A = U_1 \Sigma V_1^* = U_2 \Sigma V_2^*$. Supongamos que $\Sigma$ tiene distintos elementos de la diagonal y que $A$ es alto. Entonces

$$A^* A = V_1 \Sigma^* \Sigma V_1^* = V_2 \Sigma^* \Sigma V_2^*.$$

Por tanto, tenemos

$$\Sigma^* \Sigma V_1^* V_2 = V_1^* V_2 \Sigma^* \Sigma.$$

Observe que $\Sigma^* \Sigma$ es diagonal con todos los diferentes elementos de la diagonal (es por eso que necesitábamos $A$ a ser alto) y $V_1^* V_2$ es unitaria. La definición de $V := V_1^* V_2$$D := \Sigma^* \Sigma$, tenemos

$$D V = V D.$$

Ahora, desde la $V$ $D$ viaje, tienen los mismos vectores propios. Pero, $D$ es una matriz diagonal con los distintos elementos de la diagonal (es decir, distintos autovalores), por lo que los vectores propios son los elementos de la canon. Eso significa que $V$ es la diagonal, lo que significa que

$$V = \operatorname{diag}(e^{{\rm i}\varphi_1}, e^{{\rm i}\varphi_2}, \dots, e^{{\rm i}\varphi_n}),$$

para algunos $\varphi_i$, $i=1,\dots,n$.

En otras palabras, $V_2 = V_1 V$. Enchufe de la parte posterior que en la fórmula para $A$ y se obtiene

$$A = U_1 \Sigma V_1^* = U_2 \Sigma V_2^* = U_2 \Sigma V^* V_1^* = U_2 V^* \Sigma V_1^*.$$

Por eso, $U_2 = U_1 V$ si $\Sigma$ (y, en extensión, $A$) es la plaza de nonsingular. Otras opciones, algo similar a este, son posibles si $\Sigma$ tiene ceros en la diagonal, y/o es rectangular.

Si $\Sigma$ tiene la repetición de elementos de la diagonal, mucho más se puede hacer para cambiar la $U$ $V$ (por ejemplo, uno o ambos pueden permutar las columnas correspondientes).

Si $A$ no es delgada, pero de ancho, usted puede hacer lo mismo, empezando con $AA^*$.

Así que, para responder a tu pregunta: para una plaza, nonsingular $A$, hay una buena relación entre los diferentes pares de $U$ $V$ (multiplicación por un unitario de la diagonal de la matriz, se aplica de la misma manera a los dos de ellos). De lo contrario, usted consigue un poco más de libertad, que creo que es difícil de formalizar.