Mostrar que $f$ es uniformemente continua si existe límite de

Question

Que $f(x)$ ser continuo en $(0,1]$. Que $f$ es uniformemente continuo IFF existe $\displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x)$.

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Pensamientos:

Prueba al revés:

Que otra función $\overline f(x)$ sea continua en $[0,1]$ que es igual a $f(x)$ y el punto límite. Por lo tanto el límite existe y es uniformemente continua. Por lo tanto, como $f(x)$.

Prueba de avance: realmente no tienen ni idea...??

Por favor ayuda chicos

Answer 1

Quiere mostrar que $f$ uniformemente continua en a $(0,1]\Longrightarrow$ $\lim_{x\to0^+}f(x)$ existe.

Aquí están algunos consejos:

• Deje $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ ser una secuencia en $(0,1]$ tal que $x_n\to0$. Mostrar (usando el uniforme de la continuidad de la $f$ $(f(x_n))_{n\in\mathbb N}$ es de Cauchy, por tanto, es convergente.
  
• Ahora si $(x_n)_{n\in\mathbb N},(y_n)_{n\in\mathbb N}$ son dos secuencias en $(0,1]$ tal que $x_n\to0, \ y_n\to 0$, teniendo en cuenta la secuencia de $(z_n)_{n\in\mathbb N}$ define como $z_{2k}=x_{2k}$$z_{2k+1}=y_{2k+1} \ \forall k\in\mathbb N$, muestran que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(y_n)$.
  Además sugerencia: Las secuencias de $f(x_n),f(y_n),f(z_n)$ convergen y se $f(x_n),f(y_n)$ son subsecuencias de $f(z_n)$.
• A la conclusión de que el $\lim_{x\to0^+}f(x)$ existe.