Límite teórica de penetración para ondas evanescentes

Question

Considere la posibilidad de un problema en la electrodinámica clásica, cuando un haz monocromático de experiencias interna total de refracción cuando se viaja de un medio con $n>1$ a un medio con índice de refracción $1$ - ver esquema a continuación. El uso de las ecuaciones de Fresnel uno tiene la profundidad de penetración $$d = \frac{1}{\sqrt{k_x^2+k_y^2-(\tfrac{2\pi}{\lambda})^2}},$$ donde $k_x$ $k_y$ son perpendiculares componentes del vector de onda, y $\lambda$ es la longitud de onda (en el vacío).

Al menos en teoría, es posible tener una onda evanescente de un arbitrario profundidad de penetración $d$. Sin embargo, en tal caso, uno necesita usar un avión de onda, por lo tanto, una ola de sin límites espaciales de tamaño. Para una viga con una varianza finita $\langle x^2\rangle$ (e $k_y=0$ a reducir el problema a dos dimensiones) no parece ser una relación que $\langle d\rangle/\sqrt{\langle x^2\rangle}$ es menor que una constante.

Las principales preguntas: ¿hay alguna estricto obligado en la forma de $$\text{a measure of penetration depth}\leq f(\text{transversal beam size},n)$$ (tal vez en el estilo de principio de incertidumbre de Heisenberg, o el uso de otros momentos de $x$, $y$ y $d$)?

Answer 1

No siempre es el principio de Heisenberg, el cual, aplicado a una casi unidireccional movimiento, los estados que $$\Delta x_T \Delta p_T \ge \frac\hbar2$$ para el desplazamiento transversal y transversal de los componentes de impulso. Utilizando el hecho de que para los fotones, el impulso es directamente proporcional al vector de onda a través de $p = \hbar k$, podemos deshacernos de $\hbar$ y obtener una totalmente clásica relación válida para las vigas, $$\Delta x_T \Delta k_T \ge \frac12.$$ Aquí $\Delta x_T$ es la raíz cuadrada de $\langle x^2 \rangle$.

Ahora vamos para la reflexión total interna, la luz incidente en la frontera en un ángulo de $\theta > \theta_{\it crit}$ a la normal. Para la siguiente, vamos a necesitar el paralelo de los componentes de la $k$ vector $$k_y = k \sin \theta$$ y su desviación estándar $$\Delta k_y = \Delta k_T \cos \theta.$$

La media de la profundidad de penetración en el conjunto de las ondas evanescentes todavía será expresada por la misma fórmula, $$d = \frac1{\sqrt{k_y^2-\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2}},$$ pero obtiene una desviación estándar $$\Delta d = \left| \frac{\partial d}{\partial k_y} \right| \Delta k_y = k_y \Delta k_y d^3 = \frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{(n\sin\theta)^2-1}^3}\left(\frac{\lambda}{2\pi}\right)^2 \Delta k_T.$$ Uno podría reescribir esto como una incertidumbre en relación multiplicando por $\Delta x_T$: $$\Delta d \Delta x_T \ge \frac{k_y d^3 \cos\theta}2.$$

Esta desviación en realidad iba a ampliar la profundidad a la que las ondas evanescentes puede alcanzar. De hecho, la viga se compone de ondas planas en ángulos ligeramente más grande y ligeramente más pequeño que el $\theta$. Aquellos que llegan a $\theta_{\it crit}$ inducir una onda evanescente de infinita profundidad de penetración; aquellos que tienen aún menor ángulo de incidencia de continuar como ondas planas en el otro medio y el alcance infinito de distancias trivialmente.

Answer 2

Debido a que las matemáticas pueden ser un poco densa, voy a describir el procedimiento a continuación:

1. Supongamos que tenemos un campo de entrada con un conocido espacio-temporal de la distribución.
2. La transformada de Fourier de que el campo de entrada en el espacio y el tiempo para obtener la plano de componentes de onda.
3. Aplicar Fresnel análisis de cada componente y obtener el plano de onda el espectro de la evanescente lado de la interfaz.
4. Superponer todos los evanescente componentes de nuevo (si es posible).
5. La superposición debe resultar en una sola profundidad de penetración, que de hecho, puede ser infinito si todos los componentes del campo de entrada no son por encima del ángulo crítico.
6. Encontrar la resultante de decaimiento exponencial plazo y tome $\frac{1}{e}$ de que el valor de la profundidad de penetración.

Supongamos que tenemos algún incidente campo eléctrico incidente en una interfaz completamente polarizada en el p-plano, dado por $f({\bf{r}},t){\hat{\bf{p}}}$ donde ${\hat{\bf{p}}}$ es el vector unitario en la dirección perpendicular al vector de Poynting para la propagación de los campos. También se asume que el campo incidente no contiene onda evanescente componentes. Cualquier campo vectorial cuyas componentes son los elementos de la Schwartz clase (de funciones) puede ser representado como una superposición de ondas planas \cite{Lax02}, por lo $f({\bf{r}},t)$ puede representar como \begin{align} f({\bf{r}},t)=\int_{-\infty}^\infty F({\bf{k}},\omega)e^{i({\bf{k}}\cdot{\bf{r}}-\omega t)} d^3kd\omega \end{align} donde $F({\bf{k}},\omega)$ es el 4-dimensional de la transformada de Fourier de $f({\bf{r}},t)$, (3 dimensiones espaciales y 1 temporal dimensión). En general, ${\bf{k}}$ puede ser un complejo con valores vectoriales, pero aquí se supone que el ${\bf{k}}$ es la propagación, (es decir, homogéneo) por lo que es real valorados. Además, debido a las simetrías de un plano de la interfaz, podemos suponer $k_y=0$, e $k_z\geq 0$, a la hora de definir la interfaz de la mentira en la $xy$plano, con el vector de Poynting de la entrada del haz de punto en algún lugar en el $+z$ la dirección, y cuando, por simplicidad, asumimos que el rayo es sólo varían espacialmente en el $xz$-plano. Para este caso, el general de Fresnel amplitud para el coeficiente de p-polarización está dada por : \begin{align} \tau_{\text{p}}(k_x,\omega) = &2\frac{\epsilon_a(\omega)\sqrt{\epsilon_b(\omega)\mu_b(\omega) - \left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}}{\epsilon_a(\omega)\sqrt{\epsilon_b(\omega)\mu_b(\omega)-\left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}+\epsilon_b(\omega)\sqrt{\epsilon_a(\omega)\mu_a(\omega)-\left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}}\\ =&2\frac{\epsilon_a(\omega)\sqrt{n_b^2(\omega) - \left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}}{\epsilon_a(\omega)\sqrt{n_b^2(\omega)-\left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}+\epsilon_b(\omega)\sqrt{n_a^2(\omega)-\left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}}\\ \end{align} donde $n(\omega)=\sqrt{\epsilon(\omega)\mu(\omega)}$ es el complejo de índice de refracción, $\epsilon(\omega)$ es la permitividad dieléctrica, $\mu(\omega)$ es la permeabilidad magnética, y $\omega$ es la frecuencia angular. En este caso asumimos que estamos en frecuencias ópticas, es decir, que $\mu(\omega) \approx 1$, luego \begin{align} n^2(\omega) \to \epsilon(\omega) \end{align} lo que implica que el coeficiente de Fresnel se convierte en: \begin{align} \tau_{\text{p}}(k_x,\omega) = 2\frac{n_a^2(\omega)\sqrt{n_b^2(\omega) - \left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}}{n_a^2(\omega)\sqrt{n_b^2(\omega)-\left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}+n_b^2(\omega)\sqrt{n_a^2(\omega)-\left(\frac{ck_x}{\omega}\right)^2}}\\ \end{align} A partir de las ecuaciones de Maxwell se tiene la siguiente relación para cada plano de la onda de componente: \begin{align} {\bf{k}}\cdot{\bf{k}}= &\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\epsilon(\omega)\mu(\omega)\\ = &\left(\frac{\omega\cdot n(\omega)}{c}\right)^2 \end{align} donde $c$ es la velocidad de la luz. En nuestro caso esto se traduce en: \begin{align} k_x^2 + k_z^2= &\left(\frac{\omega \cdot n(\omega)}{c}\right)^2 \end{align} Ahora tenemos que responder a la pregunta, ¿cuál es la resultante de la ${\bf{k}}'$ en el otro lado de la interfaz? A partir de la generalización de la ley de Snell sabemos que, para nuestro caso, $k_x = k'_x$. Por lo tanto debemos calcular $k'_z$ el uso de la generalización de la ley de Snell: \begin{align} n_a(\omega)\sin(\theta_a)=&n_b(\omega)\sin(\theta_b)\\ \implies \frac{n_a(\omega)}{n_b(\omega)}\sin(\theta_a)=&\sin(\theta_b) \end{align} donde $\theta$ es el ángulo de la ${\bf{k}}$s con respecto a la $z$-eje, y las funciones de seno puede ser complejo valorado. Si el lado izquierdo de la de arriba es real y $n_a(\omega) > n_b(\omega)$ la tenemos la siguiente ecuación donde: $C$ es real: \begin{align} &\frac{e^{i\theta_b}-e^{-i\theta_b}}{2i}=C\\ \implies &e^{i\theta_b}-e^{-i\theta_b}=2Ci\\ \end{align} En este caso tenemos que $\Re(\theta_b) = \pi /2$, y la parte imaginaria varía, para satisfacer la ecuación anterior. Tenga en cuenta que en cualquiera de látex intérprete StackExchange es el uso de $\Re(\cdot)$ es la parte real y $\Im(\cdot)$ es la parte imaginaria. Entonces \begin{align} &ie^{-\Im(\theta_b)}+ie^{\Im(\theta_b)}=2Ci\\ \implies &e^{-\Im(\theta_b)}+e^{\Im(\theta_b)}=2C\\ \implies &\cosh(\Im(\theta_b))=\frac{n_a(\omega)}{n_b(\omega)}\sin(\theta_a)\\ \implies &\Im(\theta_b)=\cosh^{-1}\left(\frac{n_a(\omega)}{n_b(\omega)}\sin(\theta_a)\right) \end{align} desde $e^{i\pi/2} = i, e^{-i\pi/2}=-1$. Ahora desde $\theta_a$ se define a la $z$-eje, tenemos la siguiente definición para ${\bf{k}}$: \begin{align} {\bf{k}}=\frac{\omega \cdot n_a(\omega)}{c}\begin{pmatrix} \sin(\theta_a)\\ 0\\ \cos(\theta_a) \end{pmatrix}. \end{align} Tenga en cuenta, que tenemos: \begin{align} {\bf{k}}'\cdot {\bf{k}}' = \|{\bf{k}}'_{\text{re}}\| - \|{\bf{k}}'_{\text{im}}\| + 2i{\bf{k}}'_{\text{re}}\cdot {\bf{k}}'_{\text{im}} = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2n^2_b(\omega) \end{align} para el complejo de valores de ${\bf{k}}'= {\bf{k}}'_{\text{re}} + {\bf{k}}'_{\text{im}}$. Ya que estamos suponiendo que el $n_b(\omega)$ es real valorados, entonces la parte imaginaria del producto escalar debe ser cero, y por lo tanto, las partes real e imaginaria de ${\bf{k}}'$ son perpendiculares. Por lo tanto, desde el $k'_x = k_x$ $k_x$ es real, $k'_z$ es ya sea real o puramente imaginario. Al $k'_z$ es puramente imaginario, a continuación, tenemos la definición de una onda evanescente. Los componentes de la viga de la entrada que ha $k'_z$ puramente real no será evanescente. Ahora sólo tenemos que calcular $k'_z$. Sabemos que \begin{align} {\bf{k}}'=\frac{\omega \cdot n_b(\omega)}{c}\begin{pmatrix} \sin(\theta_b)\\ 0\\ \cos(\theta_b) \end{pmatrix} =\frac{\omega \cdot n_b(\omega)}{c}\begin{pmatrix} k_x\\ 0\\ \cos(\theta_b) \end{pmatrix}. \end{align} Es fácil demostrar que para $\theta_b = \pi/2 + \Im(\theta_b)$ y la solución anterior para $ \Im(\theta_b)$ que \begin{align} \cos(\theta_b) = &i\sinh[\Im(\theta_b)]\\ = &i\sinh\left[\cosh^{-1}\left(\frac{n_a(\omega)}{n_b(\omega)}\sin(\theta_a)\right)\right]\\ = &i\sinh\left[\cosh^{-1}\left(\frac{c}{\omega n_b(\omega)}k_x\right)\right] \end{align} Ahora, cada uno de nosotros ha ${\bf{k}}$ y asociados ${\bf{k}}'$, y el $\tau_p$. El campo en el $n_b$ lado de la interfaz, a continuación, \begin{align} \tau_{\text{p}}(k_x,\omega)F({\bf{k}},\omega)e^{i({\bf{k}}'\cdot{\bf{r}}-\omega t)} \end{align} para cada una de las ${\bf{k}}$ y cada una de las $\omega$. Debemos superponer estos para obtener el campo. En primer lugar, vamos a reescribir lo anterior en términos de $k_x$.

\begin{align} {\bf{k}}'=\frac{\omega \cdot n_b(\omega)}{c}\begin{pmatrix} k_x\\ 0\\ i\sinh\left[\cosh^{-1}\left(\frac{c}{\omega n_b(\omega)}k_x\right)\right] \end{pmatrix} \end{align}

Tenga en cuenta que el de arriba es sólo para la evanescente componentes! Tenemos las siguientes relaciones (una actualización de la anterior): \begin{align} k_x'&=k_x\\ k_y'&=k_y=0\\ k_z'&=i\sinh\left[\cosh^{-1}\left(\frac{c}{\omega n_b(\omega)}k_x\right)\right] \end{align} La superposición se convierte entonces en: \begin{align} \int_{-\infty}^\infty\int_{\bf{E}}\tau_{\text{p}}(k_x,\omega)F(k_x,k_z,\omega)e^{-\sinh\left[\cosh^{-1}\left(\frac{c}{\omega n_b(\omega)}k_x\right)\right]z}e^{i(k_x x-\omega t)}dk_x dk_z dt + \big[\text{propagating components}\big] \end{align} donde $\bf{E}$ es el dominio de la evanescente componentes. A continuación, al analizar el interior de la integral (wrt $k_x$), llegamos a la \begin{align} &\int_{-\infty}^\infty\mathrm{rect}\left(\frac{(k_x-k_{x,0})}{D}\right)\tau_{\text{p}}(k_x,\omega)F(k_x,k_z,\omega)e^{-\sinh\left[\cosh^{-1}\left(\frac{c}{\omega n_b(\omega)}k_x\right)\right]z}e^{ik_x x}dk_x\\ =&\mbox{%#%#%}^{-1}\left\{\mathrm{rect}\left(\frac{(k_x-k_{x,0})}{D}\right)\tau_{\text{p}}(k_x,\omega)F(k_x,k_z,\omega)e^{-\sinh\left[\cosh^{-1}\left(\frac{c}{\omega n_b(\omega)}k_x\right)\right]z}\right\}, \end{align} es decir, la inversa de la transformada de Fourier de una forma un tanto desagradable función de la evanescente parte donde $\mathscr{F}$ es la frecuencia de la ventana para la evanescente componentes. La evaluación de los anteriores inversa de la transformada de Fourier y el cálculo de la $\mathrm{rect}\left(\frac{(k_x-k_{x,0})}{D}\right)$ punto de que podría producir la profundidad (hay un integrante de una manera exponencial en descomposición término aquí), todavía estoy trabajando en esta parte...voy a actualizar lo que se haya completado.