Un producto infinito para$e^{x}$

Question

Esto es de nuevo de MathWorld. Deje $ x > 0$ y definir una secuencia $a_{n}$ recursivamente de la siguiente manera $$a_{1} = \frac{1}{x}, a_{n} = n(a_{n - 1} + 1)$$ Show that $$e^{x} = \prod_{n = 1}^{\infty}\left(1 + \frac{1}{a_{n}}\right)$$ empecé como sigue \begin{align} f(m) &= \prod_{n = 1}^{m}\left(1 + \frac{1}{a_{n}}\right)\notag\\ &= \prod_{n = 1}^{m}\left(\frac{a_{n} + 1}{a_{n}}\right)\notag\\ &= \prod_{n = 1}^{m}\left(\frac{a_{n + 1}}{(n + 1)a_{n}}\right)\notag\\ &= \prod_{n = 1}^{m}\frac{1}{(n + 1)}\prod_{n = 1}^{m}\left(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right)\notag\\ &= \frac{1}{(m + 1)!}\frac{a_{m + 1}}{a_{1}}\notag\\ &= x\cdot\frac{a_{m + 1}}{(m + 1)!} \end{align} Así que en efecto es necesario establecer que el$b_{n} = a_{n + 1}/(n + 1)! \to e^{x}/x$$n \to \infty$. No estoy seguro de cómo proceder. Cualquier ayuda se agradece.

Actualización: Como muchas de las respuestas indican a continuación, el resultado anterior es falso. Si alguien está asociado con MathWorld favor de informarle a solucionar el problema.

Answer 1

Como tenemos$$a_{n+1}=(n+1)(a_n+1)\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a_n}{n!}+\frac{1}{n!},$ $ que tenemos para$n\ge 2$$$\frac{a_n}{n!}=\frac{a_1}{1!}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}.$ $

Por lo tanto, de lo que tienes, tenemos$$\begin{align}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)&=\lim_{m\to\infty}x\cdot\frac{a_{m+1}}{(m+1)!}\\&=\lim_{m\to\infty}x\left(\frac 1x+\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k!}\right)\\&=\lim_{m\to\infty}\left(1+x\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k!}\right)\\&=\color{red}{1+x(e-1)}\end{align}$ $

(La respuesta que obtuve no es$e^x$, pero no puedo encontrar ningún error ...)

Answer 2

Así que para continuar desde donde se detiene:$$\frac{a_{m+1}}{(m+1)!} = \frac{a_m + 1}{m!} = a_1 + \sum{\frac{1}{m!}} \to \frac{1}{x} + e - 1$ $ El resultado no se muestra como se esperaba.

Sin embargo, si$a_n = n(a_1a_{n-1} +1)$ then$$e^x = \prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{a_1a_n})$ $ Se puede mostrar de la misma manera.

Answer 3

El resultado presentado por el OP es manifiestamente falso y debe ser señalado como tal a los administradores de MathWorld. Aparte de esto, hay varias maneras de corregirlo, entre ellos los siguientes: if

ps

entonces

ps