Relación entre los subgrupos de índice$n$ y los homomorfismos en$\mathbb Z/ n \mathbb Z$

Question

He tenido un pensar acerca de la relación entre el índice de $n$ subgrupos de un grupo de $G$ y homomorphisms $G \to \mathbb Z / n \mathbb Z$.

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Primero vamos a echar un vistazo en el caso de $n = 2$.

i) Supongamos que tenemos un no-trivial homomorphism $\phi : G \to \mathbb Z / 2 \mathbb Z $ donde $G$ es un grupo. A continuación, $H = \mathrm{ker}\phi$ es un subgrupo normal de $G$. Desde $\phi$ no es trivial, $G/H \cong \mathbb Z / 2 \mathbb Z$ y tenemos que $H$ es un subgrupo normal de índice$2$$G$. Así que todos los no-trivial homomorphism $\phi$ da lugar a un índice $2$ subgrupo $\mathrm{ker}\phi$.

ii) Suponga $H$ es un subgrupo de índice$2$$G$. A continuación, $H$ es necesariamente normal y no es igual a $G$. Parece natural para definir $\phi : G \to \mathbb Z / 2 \mathbb Z$ por $\phi(H) = 0$, $\phi(G \backslash H) = 1$. Esto es necesariamente un homomorphism, ya que el producto de dos elementos en $G \backslash H$ debe ser en $H$ (con la normalidad de $H$). Así que cada índice $2$ subgrupo da lugar a un no-trivial homomorphism, y la correspondencia se establece.

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Vamos a ver lo que sucede cuando tratamos de generalizar este método para mayor $n$.

Si $n = 3$, no trivial homomorphism $\phi : G \to \mathbb Z / 3 \mathbb Z$ debe ser surjective, y por lo que el argumento utilizado en i) todavía funciona; todos los no-trivial homomorphism $\phi$ da lugar a un índice $3$ subgrupo $\mathrm{ker}\phi$.

Entonces me vienen a través de dos problemas:

1. Me parece que no puede generalizar i) por $n$ superior $3$, ya que no puede garantizar surjectivity. EDIT: puedo garantizar surjectivity si $n$ es primo, aunque (desde la no trivialidad implica la existencia de una$g \in G$$\phi(g) = a \neq 0$, e $n$ prime implica la existencia de un inverso multiplicativo de a $a \ (\mathrm{mod } \ n )$).

2. Ni siquiera puedo generalizar mi argumento en ii) para el caso de al $n = 3 $, ya que la normalidad fue la clave aquí.

Supongo que lo que me gustaría saber es:

A) ¿existe una buena generalización de la $n=2$ resultado? ¿Usa el mismo método y, si es así, ¿por qué no me las arreglé para conseguir que funcione?

B) ¿hay alguna otra manera de abordar este problema / explicación de por qué tal criterio no existe? Tal vez podría ser útil para descomponer $\mathbb Z / n \mathbb Z$, según el primer factorización de $n$?

C) ¿hay algo más relevante para el problema que aún no lo he pensado? Puedo ver las complicaciones pueden surgir en el caso de que $G$ no es finito.

Gracias.

Answer 1

Hay varias formas de generalizar a todas o algunas de las observaciones que hacer. La razón por la que usted está recibiendo un poco perdido es el tal vez por desgracia coincidencia que $S_2$, el grupo de todas las permutaciones del conjunto de dos elementos, es el mismo que $\mathbf{Z}_2$, el grupo cíclico de orden $2$; esto condujo a un intento de generalizar a lo largo cíclica de los grupos de permutación de grupos.

Bill Cook ha dado el estándar de generalización:

Un grupo de $G$ tiene un subgrupo $H$ de índice de $n$ si y sólo si hay un homomorphism de $G$ a un transitiva subgrupo de $S_n$. Por otra parte, la homomorphism puede ser elegido de modo que el núcleo de la homomorphism está contenida en $H$.

Otra línea de generalización corre a lo largo de la observación de que un subgrupo de índice $2$ debe necesariamente ser normal subgrupo. Un estándar de generalización es:

Deje $G$ ser un grupo finito. Si $H$ es un subgrupo de $G$, e $[G:H]$ es de los primos más pequeños que divide $|G|$,$H\triangleleft G$.

La prueba es muy diferente de la prueba para el caso de $[G:H]=2$, pero este teorema tiene la $[G:H]=2$ caso como un caso especial. Se utiliza el grupo de acciones:

Prueba. Desde $[G:H]=p$, entonces no es un homomorphism $G\to S_p$. El núcleo de la homomorphism está contenida en $H$; deje $N$ ser el kernel. A continuación, $[G:N]$ divide $|S_p|=p!$ del Teorema de Lagrange. Pero los primos más pequeños que divide $|G|$$p$, lo $[G:N]$ no puede ser divisible por cualquier primer menor que $p$. Por lo tanto, $[G:N]=p$, y desde $N\subseteq H$ llegamos a la conclusión de que $N=H$. Por lo tanto, $H\triangleleft G$, como se reivindica. $\Box$.

Otra generalización es una simple observación:

Un grupo de $G$ tiene un subgrupo normal de índice $n$ si y sólo si hay una en homomorphism de $G$ a un grupo de orden $n$.

Prueba. Si $K$ es un grupo de orden $n$, e $\varphi\colon G\to K$ es una en homomorphism, vamos a $N=\mathrm{ker}(\varphi)$. A continuación, $G/N\cong K$ por el Primer Teorema de Isomorfismo, por lo $[G:N] = |G/N| = |K| = n$. Por lo tanto, $N\triangleleft G$$[G:N]=n$, como se reivindica. Por el contrario, si $N\triangleleft G$$[G:N]=n$, entonces la proyección canónica $\pi\colon G\to G/N$ ( $\pi(g) = gN$ ) en homomorphism a un grupo de orden $n$ ($G/N$ es un grupo porque $N\triangleleft G$). $\Box$

Como he señalado en mi comentario, se puede generalizar ligeramente de su observación mediante la restricción a la normalidad subgrupos cíclicos número de índice:

Definición. Un entero positivo $n$ es llamado un número cíclico si y sólo si cada grupo de orden $n$ es isomorfo al grupo cíclico de orden $n$.

Ejemplos cíclico de los números son los números primos y los $n=pq$ $p\lt q$ primos y $q\not\equiv 1\pmod{p}$ (por ejemplo, $n=15$). Una caracterización completa de los números cíclicos, es un poco complejo para el estado: dado un primer $p$ y un entero positivo $\nu$, definir $$\psi(p^{\nu}) = (p^{\nu}-1)(p^{\nu-1}-1)\cdots(p-1).$$ Para un entero $n\gt 1$, factor de $n$ a de los números primos, $n=p_1^{\nu_1}\cdots p_r^{\nu_r}$, y definir $$\psi(n) = \psi(p_1^{\nu_1})\cdots \psi(p_r^{\nu_r}).$$ Por último, establezca $\psi(1)=1$. A continuación, $n$ es un número cíclico si y sólo si $\gcd(n,\psi(n))=1$ $n$ es squarefree (si $k^2$ divide $n$,$k=\pm 1$).

A continuación, un corolario del teorema anterior es:

Corolario. Deje $n$ ser un número cíclico. Un grupo de $G$ tiene un subgrupo normal de índice $n$ si y sólo si hay un surjective homomorphism $G\to\mathbf{Z}_n$.

Prueba. Si hay un homomorphism $G\to\mathbf{Z}_n$, luego por el teorema es el kernel normal de índice $|\mathbf{Z}_n|=n$. Por el contrario, si $N\triangleleft G$ índice de $n$, entonces no es un surjective homomorphism $G\to K$$|K|=n$; pero desde $n$ es cíclica número,$K\cong\mathbf{Z}_n$, por lo que hay un surjective homomorphism de $G$ a $\mathbf{Z}_n$, como se reivindica. $\Box$

El resultado no puede ser extendida a $n$ que no son cíclicos números. Deje $n$ ser un número que no es un número cíclico. Luego hay un grupo de $K$ tal que $|K|=n$ pero $K$ no es cíclico. Tome $G=K$$N=\{e\}$. Entonces $N\triangleleft G$, $[G:N]=n$, pero no hay imagen homomórfica de $G$ es cíclico de orden $n$.

Answer 2

La declaración general de lo que estamos dirigiendo hacia...

$G$ tiene una normal subgrupo de primer índice $p$ si y sólo si existe un no-cero homomorphism de$G$$\mathbb{Z}_p$.

Prueba: Supongamos $H$ es un subgrupo normal de índice $p$. A continuación, $G/H$ es un subgrupo de orden $p$. Por lo tanto, es isomorfo a $\mathbb{Z}_p$ desde $p$ es el primer: llame a este isomorfismo $\varphi$. Deje $\pi:G \to G/H$ ser la proyección homomorphism $\pi(g)=gH$. A continuación, $\varphi \circ \pi$ es un no-cero homomorphism de$G$$\mathbb{Z}_p$.

Ahora supongamos que hay un no-cero homomorphism. Ya que cualquier elemento no nulo de a $\mathbb{Z}_p$ genera el grupo, este homomorphism es en y por el isomorphsm teorema $G/\mathrm{Ker}$ es isomorfo a$\mathbb{Z}_p$, lo que implica que el núcleo (un subgrupo normal) tiene índice $p$.

Ahora bien, si hay un surjective homomorphism en $\mathbb{Z}_n$, entonces uno tiene un subgrupo normal de índice $n$ (por el teorema de isomorfismo). Sin embargo, si uno tiene un subgrupo normal de índice $n$ (no nec. prime), entonces hay una surjective homomorphism a un grupo de orden $n$, pero en general este grupo no tiene que ser cíclica (o incluso abelian).

Ahora si quieres sonda subgrupos de índice$n$, que no son necesariamente normal, su línea de investigación probablemente no pan, porque básicamente estás mirando núcleos (que siempre son normales). Buscar en subgrupos (no nec. normal), grupo de acciones son el camino a seguir.

Podemos decir $G$ actúa sobre un conjunto $S$ si hay un mapa de $\cdot:G \times S \to S$ denotado $(g,s) \mapsto g \cdot s$ tal que $(gh)\cdot s = g \cdot (h \cdot s)$ todos los $g,h \in G$ $s \in S$ también $e \cdot s= s$ todos los $s \in S$ si $e$ es la identidad de $G$.

Deje $s \in S$. A continuación, $G \cdot s = \{ g \cdot x \;|\; g \in G\}$ es de la órbita de la $s$ $G_s = \{ g \in G \;|\; g \cdot s = s \}$ es la isotropía subgrupo de fijación $s$ (o estabilizador de $s$). No es difícil mostrar que la isotropía subgrupos son, de hecho, subgrupos y de las órbitas de los elementos de la partición del conjunto de actuar. Se puede demostrar que $[G:G_s]=|G \cdot s|$ (una especie de generalización de Lagrange del teorema), por lo que el tamaño de la órbita de $s$ veces el tamaño de los estabilizadores de $s$ es igual al tamaño del grupo.

Ahora supongamos $H$ es un subgrupo de $G$ de índice de $n$, $G$ actúa transitivamente sobre la izquierda cosets de $H$ $G$ (que es un conjunto con $n$ elementos): $g \cdot xH = (gx)H$. [Transitivo significa que sólo hay 1 órbita.]

Por el contrario, si $G$ actúa transitivamente sobre un conjunto de tamaño $n$, entonces cualquier isotropía subgrupo (estabilizador) es un subgrupo de índice $n$ desde que el índice de una isotropía subgrupo de fijación $x$ es igual al tamaño de la órbita de $x$ que lo es todo (es decir, $n$ elementos) si suponemos que la acción es transitiva.