Para un grupo topológico$G$ y un subgrupo$H$, es cierto que$[\overline{H}, \overline{H}] = \overline{[H,H]}$? ¿Qué pasa con los grupos algebraicos?

Question

Cuando hablamos de awllower acerca de esta pregunta, quiero comenzar a pensar de otra:

Para un grupo topológico $G$ y un subgrupo $H$, es cierto que $[\overline{H}, \overline{H}] = \overline{[H,H]}$?

donde $[H,H]$ denotar la derivada de los subgrupos de $H$.

Creo que, si he de definir el mapa de $\phi: G \times G \rightarrow G, (x,y) \mapsto xyx^{-1}y^{-1}$, entonces la pregunta que se convertirá en la igualdad entre el$\phi(\overline{H}\times \overline{H})$$\overline{\phi(H \times H)}$. Dando a $G \times G$ el producto de la topología, tendremos $\phi(\overline{H} \times \overline{H}) \supseteq \overline{\phi(H \times H)}$ si $\phi$ es cerrado; $\phi(\overline{H} \times \overline{H}) \subseteq \overline{\phi(H \times H)}$ porque $\phi$ es continua. (Espero que no me equivoco al pensar que $\overline{H \times H} = \overline{H} \times \overline{H}$, que es una condición de la anterior).

Así, un derivado de la pregunta es:

Para un grupo topológico $G$, es el mapa de $\phi: G \times G \rightarrow G, (x,y) \mapsto xyx^{-1}y^{-1}$ cerrado si $G \times G$ es dado al producto de la topología?

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Para el caso de al $G$ algebraica de grupo, la topología será cambiado a la topología de Zariski. A continuación, se $\phi$ cerrado mapa? Qué $\phi(\overline{H}\times \overline{H})$ igual $\overline{\phi(H \times H)}$?

De hecho, estoy más preocupado con la algebraica de grupo caso. Pero si el primer caso se tratará, esperemos que el algebraicas caso va a ser más fácil.

Gracias a todo el mundo.

Answer 1

Primero te voy a dar una respuesta a lo que yo espero que tu pregunta real es. A continuación, te voy a dar una respuesta negativa a su pregunta específica, pero espero que usted va a ver que no importa.

Proposición: Si H es una solución subgrupo de la (Hausdorff) topológica grupo G, entonces el cierre de H en G es una solución subgrupo de G.

Caso especial de la prueba: Supongamos que H es abelian, por lo que su derivada longitud es de k = 1. Deje g, h será de dos (=2^k) los elementos de la clausura de la H, y vamos a g_n → g y h_n → h. Puesto que la multiplicación y la inversión son continuos, [ g_n, h_n ] → [ g, h ], pero el primero es simplemente la constante de la secuencia que consta de la identidad, por lo que [ g, h ] = 1 así.

Prueba: Puesto que G es Hausdorff, podemos considerar los límites de las secuencias. Deje que la derivada de la longitud de H ser k, y vamos a g_i para 1 ≤ i ≤ 2^k 2^k elementos de la clausura de la H. Para cada i, vamos a g_i,j → g_i. Puesto que la multiplicación y la inversión son continuos, $$[\ldots[[[g_{1,j},g_{2,j}],[g_{3,j},g_{4,j}]],[[g_{5,j},g_{6,j}],[g_{7,j},g_{8,j}]]]\ldots] \to [\ldots[[[g_1,g_2],[g_3,g_4]],[[g_5,g_6],[g_7,g_8]]]\ldots]$$ pero el lado izquierdo es la constante de la secuencia que consiste en la identidad, y por lo que el lado derecho es la identidad, y la derivada de la duración del cierre de H es (no más, pero, obviamente, no menos de) k. $\square$

Si sus espacios no son Hausdorff, entonces es de suponer que usted puede hacer aproximadamente la misma cosa, como esto es sólo el uso de continuidad, no cerrado-dad de los mapas correspondientes a los conmutadores.

En otras palabras, en general, se ha ${\overline H}^{(k)} \leq \overline{H^{(k)}}$ por topológico consideraciones, pero, por supuesto, $H^{(k)} \leq \overline{H}^{(k)}$ por el simple conjunto de la teoría de la contención. Por lo tanto uno tiene en general que:

$$\overline{ \overline{H}^{(k)}} = \overline{H^{(k)}}$$

lo que debería ser suficiente en cualquier cuerdo mundo (donde la closeure de la identidad es la identidad). Supongo que en la topología indiscreta en el grupo cíclico de dos elementos con G = H, uno tiene

$$ \overline{H}^{(1)} = [G,G] = 1 \quad \text{while} \quad \overline{H^{(1)}} = \overline {1} = G$$

de modo que su igualdad no necesita ser cierto en general.