Suma mínima de los cuadrados

Question

Encuentre el valor más pequeño de la expresión$$(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+...+(x_{n-1}-x_n)^2+(x_n-x_1)^2,$ $ if$x_1,x_2,...,x_n -$ pairwise diferentes enteros

Mi trabajo hasta el momento: Tengo una hipótesis, que la respuesta es:$1+1+..+1+(n-1)^2=(n-1)+(n-1)^2=(n-1)n$,

Pero no sé cómo probarlo

Answer 1

Edificio de gammatester del contraejemplo, se ve como una conjetura correcta puede ejecutar hasta las probabilidades y abajo de la iguala, por ejemplo,

$$1,3,5,7,9,10,8,6,4,2$$

Tenga en cuenta que no importa cómo organizar los números, el promedio de la diferencia entre (circularmente) números consecutivos es siempre $0$, por lo que en un sentido, lo que estamos tratando de hacer es encontrar un arreglo que minimiza la varianza. I. e., si se fija un arreglo circular y deje $X$ ser la variable aleatoria para la diferencia entre un elegido al azar par de números consecutivos, a continuación,$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=E(X^2)-0$.

Answer 2

Su hipótesis es incorrecta, consulte, por ejemplo,$n=4$. Su fórmula le dará la suma$3\times 4 = 12$. Pero si toma$x_1\dots x_4 = 1,3,4,2\;$ la suma es$2^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 = 10$