¿Hay libros de texto que discutan / clasifiquen los homomorfismos del grupo inyectivo de$\mathbb Q$ (bajo la adición) en$\mathbb C \setminus \{0\}$ (bajo multiplicación)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Justpassingby
Puntos
5332
El grupo multiplicativo $\mathbb C^*$ es el producto de $\mathbb R^+_0$ con el círculo unitario $C$. Cualquier homomorphism se descompone en un módulo y el argumento de que manera, y su núcleo es la intersección de los núcleos de los dos componentes. Por lo que se busca es el producto cartesiano de los homomorphisms a la unidad de círculo con la homomorphisms a la positiva reales, menos las parejas donde ni el miembro es inyectiva.
Grupo homomorphisms $\mathbb Q\to\mathbb R^+_0$ se determina únicamente por la forma en que mapa $1,$ desde $n$-th raíces son únicos en $\mathbb R^+_0.$ por el Contrario, todos los reales positivos $r$ define un homomorphism
$$\varphi_r:\mathbb Q\to\mathbb R^+_0:q\mapsto r^q.$$
Así, el segundo componente de nuestro producto cartesiano es indexado por los números reales positivos $r.$ El homomorphisms son inyectiva para todos los $r\neq1.$
La parte interesante de la cuestión es describir la inyectiva homomorphisms de $\mathbb Q$ a del círculo unidad.
Un homomorphism $\psi:\mathbb Q\to C$ está determinada por sus valores en los recíprocos de primer poderes. Hay, por supuesto, nosotros no tienen completa libertad de elección, porque tenemos que cumplir las limitaciones
$$\psi(p^{-n})=\psi(p^{-(n+1)})^p,\ n=0,1,\ldots$$
Para una descripción completa de la central unitaria de caracteres del grupo aditivo de los números racionales a los que me refiero a los mayores respuestas en este foro como la teoría de la Representación de la aditivo grupo de los racionales?
Para un carácter unitario $\psi$ a ser inyectiva una condición necesaria y suficiente es que $\pi^{-1}\arg\psi(1)\notin\mathbb Q.$
