Mostrar un proceso es una martingala

Question

Sea$\newcommand{\F}{\mathcal F} S_n=S_{n-1} +X_n $ donde$S_0=0$, y$X_k$ son iid y$\phi(t)=\mathbb{E}e^{itX_1}$ es la función característica de$X_k$.

Considere un proceso$Y_n=e^{itS_n-n\log(\phi(t))}$. Mostrar que el proceso$(Y_n, \F_n)$ es una martingala, donde$\F_n=\sigma(X_1,...,X_n)$.

No estoy muy seguro acerca de cómo calcular la expectativa condicional$\mathbb{E}[Y_n \mid \F_{n-1}]$.

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En este punto, estoy atascado.

Answer 1

Tenga en cuenta que$\log(\phi(t))$ no está bien definido para$t \in \mathbb{R}$ tal que$\phi(t) \leq 0$. Considere por ejemplo$X_1 \sim U_{[-1,1]}$, entonces$\phi(t)= \frac{\sin t}{t}$, así$\phi(t) \leq 0$ para$t \in [\pi,2\pi]$. Para evitar estos inconvenientes, defina$Y_n$ by$$Y_n := e^{\imath \, t \cdot S_n} \cdot \phi(t)^{-n}$$ where $ t \ in \ mathbb {R} \ In \ mathbb {R}$ such that $ \ phi (t)> 0$. For all $ Y_n$ such that $$, this coincides with your definition of $

Para probar$ since $ una martingala utilizamos la independencia de las variables aleatorias$\exp(-n \cdot \log \phi(t)) = \phi(t)^{-n}$:$ if $ $ Dado que las variables aleatorias$(Y_n)_n$ están distribuidas de forma idéntica tenemos$(X_n)_n$ $ Así ps