Prueba primaria: Si $a|m$, $b|m$ y $\gcd(a,b)=1$ y $ab|m$

Question

Así que estoy tratando de hacer de alguna manera en esta prueba,pero no puedo ver cómo estos se relacionan. Aquí está la pregunta: Vamos a $a,b,m$ ser números enteros tales que $a\mid m$, $b\mid m$ y $\gcd(a,b)=1$,$ab\mid m$.

Listado de lo que sé que puedo ver que, por definición,

$m = ap$ donde $p$ es un número entero,

$m= bq$ donde $q$ es un número entero,

$\gcd(a,b)=1=ax+by$ donde $x,y$ son algunos enteros y estamos buscando para probar

$ m = ab(r) $ donde $r$ es un número entero.

Lo que he pensado hacer es establecer $ap$ = $bp$ y, a continuación, hacer algo con eso para notar el hecho de que $m= m\cdot 1$ por sustitución puede hacer $m= m(ax+by)$ y, a continuación,

$$m(ax+by) = abr.$$

Pero siento que esta se lleva a ninguna parte. Estoy en el camino correcto? Me parece que no puede encontrar cualquier relevante de las proposiciones.

Answer 1

Me siento como la prueba proporcionada por vrugtehagel no arrojar mucha luz sobre lo que realmente está pasando, así que quiero aclarar el teorema de una manera diferente.

Si $(a,b)=1$ $a$ $b$ no tienen factores comunes. IDK si usted está autorizado a utilizar el único factorización prima en esta prueba, pero incluso si no te da una manera fácil de entender el porqué de esta afirmación es verdadera. Si $gcd(a,b)=1$, a continuación, la lista de sus factores primos son disjuntas. Si $a|m,b|m$, entonces todos los factores primos de a $a$ son los principales factores de $m$ y lo mismo es cierto para $b$. La razón por la que el MCD es requisito necesario es que si no se mantienen, $a$ $b$ "doble" por tanto contiene los factores primos de a $m$, lo que consigue el doble de contado en el producto. Considere la posibilidad de $a=6, b=10, m=30$. No es cierto que el $ab|m$ debido a la ocurrencia de un $2$ en la factorización de $30$ se produce en $6$ y en $10$.

Este concepto está encapsulado en el siguiente teorema, que es una generalización de la que se tiene que probar:

Teorema: $lcm(a,b)=ab/gcd(a,b)$

El producto de dos números es el producto de todos sus factores primos. El MCM de dos números es el número más pequeño que contiene todos los factores primos de ambos números. El mcd de dos números es el producto de todos los compartidos factores primos. La relación de el mcm y el mcd toma todos los factores primos, y quita la medida en que ellos han sido el doble cómputo, dando el número más pequeño que contiene todos los factores primos de los dos números.

Answer 2

$1=ax+by\Rightarrow m=max+mby\Rightarrow m=bqax+apby\Rightarrow m=ab(qx+py)$

Answer 3

Que $ap=m$ y $bq=m$. Entonces deje que $x,y$ números enteros tales que $ax+by=1$. Ahora nota, % o $apqx+bpqy=AB$ $mqx+mpy=pq$. Esto quiere decir $pq=m(qx+py)$, que podemos reescribir a $$apbq=abm(qx+py)$ $

o

$$m^2=abm(qx+py)$$

que simplifica a $m=ab(qx+py)$, dando por resultado $ab\mid m$.

Answer 4

Esta solución no utilizar la identidad de Bézout y sólo utiliza las propiedades de $\gcd$, por lo que es generalizable a MCD dominios.

Vamos a establecer $\text{lcm}(a,b)=c$. Es suficiente para probar que $|ab|=|c|$ porque como $a\mid m$$b\mid m$, entonces por la definición universal de $\text{lcm}$ se sigue que $c\mid m$ y, por tanto,$ab\mid m$.

Para demostrar que $|ab|=|c|$ primero nos cuenta que desde $a\mid ab$$b\mid ab$, a continuación, aplicar de nuevo la definición universal de $\text{lcm}$ tenemos $c\mid ab$. En el otro lado, $$a=\frac{ab}{c}\cdot \frac{c}{b}\implies \frac{ab}{c}\mid a$$ $$b=\frac{ab}{c}\cdot \frac{c}{a}\implies \frac{ab}{c}\mid b$$

Por lo tanto, por la definición universal de $\gcd$ podemos deducir que $ab/c\mid \gcd(a,b)=1$, $|ab/c|=|1|$ e lo $|ab|=|c|$.

Answer 5

tal vez vale la pena destacar que el resultado se deduce rápidamente la regla que describe cómo interactúa la estructura del enrejado distributivo en los enteros positivos con la multiplicación ordinaria: $$ (a\land b) \cdot (a\lor b) = a b \cdot $$ es sencillo una vez tienes el teorema de descomposición principal único para los enteros positivos.