Cuantificador de una implicación

Question

Estoy enseñando a alguien acerca de las declaraciones, la base misma del pensamiento matemático, pero ahora estoy un poco confundido yo. Para

$ \forall x \in \mathbb{R}, x > 2 \Rightarrow x > 3 $

¿para ser una declaración, tiene la parte de $ \in \mathbb{R} $? ¿Y el cuantificador?

¿Así que es $ x > 2 \Rightarrow x > 3 $ una declaración o no?

Answer 1

Si se entiende que la variable $x$ se refiere a un número real, entonces puede ser omitido; en caso contrario, no.

Esta práctica es conocida como delimitada cuantificación. En general, cuando se escribe $\forall x$, la variable $x$ es llevado a ir todo el universo de discurso, sea lo que sea. Si el universo de discurso no es especificado, entonces generalmente se entiende por el contexto (por ejemplo, la de von Neumann universo en la teoría de conjuntos).

Si $p(x)$ es una declaración con una variable libre $x$, entonces la expresión $\forall x \in X,\, p(x)$ es la abreviatura de $\forall x,\, (x \in X \Rightarrow p(x))$. Entonces no importa lo que el universo de discurso es, porque para que la hipótesis de $x \in X$ a ser especificado, se ha restringido al instante mismo de los elementos de $X$.

Así, la declaración $\forall x \in \mathbb{R},\, x > 2 \Rightarrow x > 3$ es la abreviatura de $$\forall x,\, (x \in \mathbb{R} \Rightarrow (x > 2 \Rightarrow x > 3))$$ Si se entiende en el contexto de que la variable $x$ se refiere a un número real, entonces usted podría omitir el "$\in \mathbb{R}$" parte para que la instrucción se convierte en $\forall x,\, (x > 2 \Rightarrow x > 3)$; de hecho, en este caso, se puede reducir aún más para convertirse $\forall x > 2,\, x > 3$.

Answer 2

la base del pensamiento matemático

es acerca de la comunicación tanto como se trata de declaraciones formales.

Si hay o no ambigüedad en su ejemplo depende del contexto. Si es parte de una discusión sobre los números verdaderos no necesitan la especificidad extra. Si es un ejemplo independiente sobre los cuantificadores, que hacer.

Answer 3

Si no lo especifica, existe la posibilidad de ambigüedad. Por ejemplo, considere el ejemplo $\forall x, x>3 \Rightarrow x>2$. Si $x$ es real, es obviamente cierto. Si sin embargo lo tomamos sobre el enrejado de divisibilidad, $x=9$ contradice la declaración, como $9$ es un número impar.

Answer 4

Mejor especificar $\forall x \in \mathbb R$, porque podría ser posiblemente que su declaración es % o $\forall x \in \mathbb Q$ $\forall x \in \mathbb Z$, etcetera.