Prueba que para la serie $\sum_{n \in \mathbb{N}}|\zeta_n\mu_n|$ sea convergente para todo $\zeta \in l^p \implies \mu \in l^q$

Question

Prueba que para la serie $$\sum_{n \in \mathbb{N}}|\zeta_n\mu_n|$$ sea convergente para todo $$\zeta \in l^p \implies \mu \in l^q$$

Utilicé la desigualdad de Holder para demostrar que $$\sum_{n \in \mathbb{N}}|\zeta_n\mu_n| \leq \|\zeta\|_p \|\mu\|_q $$

Pero no puedo encontrar un $\zeta= (\zeta_1, \zeta_2,....)$ tal que $A(\zeta)=\sum_{n \in \mathbb{N}}|\zeta_n\mu_n|=(\sum_{n \in \mathbb{N}} |\mu_n|^q)^{\frac{1}{q}}$ . $ \zeta=??$

Answer 1

Para mi comodidad, escribiré $\zeta_n = x_n$ , $\mu_n = y_n$ .

Definir para cada $n$ funciones $T_n : \ell^p \to \Bbb{C}$ por $x=(x_n) \mapsto \sum_{i=1}^{n}x_iy_i$ .

$|T_n(x)| \le \big(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\big)^{1/p} \big(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q\big)^{1/q}$ para que

$\|T_n\| \le \big(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q\big)^{1/q}$ y elija $z=(z_i)$ tal que $$ z_i = \left\{ \begin{eqnarray} \frac{y_i}{|y_i|^{2+p-pq}} & & \text{if} & i \le n & \text{and} &y_i\not=0 \\ 0 & & \text{if} & i > n & \text{or} &y_i=0. \end{eqnarray} \right. $$

Vemos que $\|T_n\|\ge |T_n(z)|/\|z\| = \big(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q\big)/\big(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q\big)^{1/p} = \big(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q\big)^{1/q}$ . Por lo tanto, $$\|T_n\|=\big(\sum_{i=1}^{n}|y_i|^q\big)^{1/q}.$$

Por lo tanto, por el principio de acotación uniforme,

$$\sup_n\|T_n\| = \big(\sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^q\big)^{1/q} < \infty.$$

Answer 2

En realidad, la convergencia absoluta para todos los $\xi\in\ell^p$ es equivalente a una convergencia simple para todos los $\xi\in\ell^p$ ya que para $\mu_n=|\mu_n|e^{i\theta_n}$ se puede tomar $\xi_n=|\xi_n|e^{-i\theta_n}$ . Significa, en particular, que

si el funcional $\phi(\xi)=\sum_{n\in\Bbb N}\xi_n\mu_n$ se define en el conjunto $\ell^p$ entonces debe ser continua.

Enunciemos primero un lema. Utilizaremos $\xi(n)$ notación para abordar la $n$ -ésimo elemento de la secuencia $\xi$ y $\xi_n$ para indexar una secuencia de secuencias.

Lema : Dejemos que $\xi_n\in\ell^p$ y $\xi_n\to\xi$ en $\ell^p$ . Entonces existe una subsecuencia dominada $\xi_{n_j}$ es decir $\forall k\ge 1$ $|\xi_{n_j}(k)|\le \sigma(k)$ para algunos $\sigma\in \ell^p$ .

Prueba : Desde $\|\xi_n-\xi\|_p\to 0$ existe una subsecuencia $\xi_{n_j}$ tal que $$ \sum_{j=1}^{+\infty}\|\xi_{n_{j+1}}-\xi_{n_j}\|_p<+\infty. $$ Indexemos la subsecuencia como $\xi_j$ y establecer $\xi_0=0$ para simplificar la anotación. Definir $$ \sigma(k)=\sum_{j=0}^{+\infty}|\xi_{j+1}(k)-\xi_j(k)|. $$ Las sumas parciales $$ \sigma_N(k)=\sum_{j=0}^N|\xi_{j+1}(k)-\xi_j(k)| $$ están uniformemente acotados en $\ell^p$ ( Desigualdad de Minkowski ) como $$ \|\sigma_N\|_p\le\sum_{j=0}^N\|\xi_{j+1}-\xi_j\|_p\le\sum_{j=0}^{+\infty}\|\xi_{j+1}-\xi_j\|_p<+\infty, $$ por lo tanto, por convergencia monótona $\sigma\in\ell^p$ . Además, como $\sum_{j=0}^{+\infty}(\xi_{j+1}(k)-\xi_j(k))$ converge (absolutamente) concluimos que $$ |\xi_{N+1}(k)|=\left|\sum_{j=0}^N(\xi_{j+1}(k)-\xi_j(k))\right|\le \sigma_N(k)\le\sigma(k). $$

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Corolario Si la función $\phi\colon \ell^p\to \Bbb C$ $$ \phi(\xi)=\sum_{k=1}^{+\infty}\xi(k)\mu(k) $$ está definida en todas partes en $\ell^p$ entonces está cerrado.

Prueba : Dejemos que $\xi_n\to \xi$ en $\ell^p$ y $\phi(\xi_n)\to y$ en $\Bbb C$ . Por el lema anterior existe una subsecuencia dominada $\xi_j$ tal que $|\xi_j(k)|\le\sigma(k)$ . La convergencia fuerte implica la convergencia puntual $\xi_j(k)\to\xi(k)$ para todos $k\ge 1$ . Entonces $$ \xi_j(k)\mu(k)\to \xi(k)\mu(k) \quad\text{and}\quad |\xi_j(k)\mu(k)|\le\sigma(k)|\mu(k)| $$ y el teorema de convergencia dominada da que $$ y=\lim_{j\to +\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\xi_j(k)\mu(k)= \sum_{k=0}^{+\infty}\lim_{j\to +\infty}\xi_j(k)\mu(k)=\sum_{k=0}^{+\infty}\xi(k)\mu(k)=\phi(\xi). $$

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Ahora el teorema del grafo cerrado asegura que el funcional $\phi$ está acotado, y por lo tanto $\mu\in\ell^q$ .